27.1.3 圆周角 讲义（寒假预习） 2022-2023学年华东师大版数学九年级下册

27.1.3 圆周角（附解析） 一、学习目标 1.能识别圆周角. 2.掌握圆周角定理及其推论. 二、知识要点 1、顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角； 2、一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半； 3、（在同圆或等圆中，）同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等； 4、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 5、证明圆周角相等或弧相等的常用方法：“由等角角找等弧”“由等弧找等角”． 6、利用“90°的圆周角所对的弦是直径”．可确定一个圆的圆心。 7、已知直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中一种常见的辅助线． 三、典例分析 1、识别圆周角 例1．下列图形中的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项C中的角是圆周角． 故选：C． 【解题反思】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义． 2、圆周角定理 例2．如图，都是的半径，，若，则的度数是______． 【答案】 【思路点拨】先利用同弧关系求出，根据，求出的度数，再利用同弧关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【解题反思】此题考查了圆周角与圆心角的关系利用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，熟练掌握此关系是解题的关键． 3、直径所对的圆周角为直角 例3．如图，是的直径，是弦，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据直径所对的圆周角为直角可得，即可求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可进行解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 【解题反思】本题主要考查了圆的相关内容，解题的关键是熟练掌握：直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等． 4、直角所对的弦是直径 例4．如图，点、、、都在上，，，，则的直径的长是________． 【答案】 【思路点拨】首先连接，由圆的内接四边形的性质，可求得，根据直角所对的弦是直径，可证得是直径，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：连接， 点、、、都在上，， ， 是直径， ，， ． 故答案为：． 【解题反思】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及勾股定理，关键在于根据直角所对的弦是直径作辅助线． 四、针对训练 1．下列四个图形的角是圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点，，，在⊙O上，是的直径，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点在上，若，则的度数是（　 　） A．74° B．48° C．32° D．16° 4．如图，半圆O的直径，两弦相交于点E，弦，则等于（     ）度． A．15 B．30 C．45 D．60 5．如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点，若点为中点，则长为（     ） A．1 B．2 C． D． 6．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C．1 D．2 7．如图，是半圆的直径，交半圆于点，是的中点，分别交，于点，，若，则，的长分别为______；______． 8．如图，BC为的直径，AB交于点E，AC交于点D，，，则的度数是________． 9．如图，是的直径，点在上，是弧的中点，相交于点，若，则的度数为______． 10．如图，在中，点为弧的中点，，则______． 11．如图，在中弦的长为，点在圆上，且，则的半径为________． 12．如图，是圆O的直径，弦相交于点E，且，若，C是的中点，则_____． 13．如图，是等腰三角形，，D是的中点，点A，B，D在同一个圆上，求证：是圆的直径． 14．如图，已知等腰直角三角形，点P是斜边上一点（不与B，C重合），是的外接圆的直径． (1)求证：； (2)若的直径为3，求的值． 15．如图，的三个顶点都在上，是的直径，于E． (1)求证：E为的中点； (2)连接并延长，交于点F，交于点G，连接．若的半径为5，，求和的长． 16．如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时， (1)求⊙O的半径； (2)求BD的长 (3)求AD的长 17．如图，是等腰三角形底边的中点，过点 作． (1)求证：是的直径； (2)延长交于点，连接，求证：； (3)若，，求长． 18．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第9页，