第19讲 复数的乘、除运算-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第19课 复数的乘、除运算 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． ( 知识精讲 ) 知识点01　复数乘法的运算法则和运算律 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 【即学即练1】　　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 反思感悟　(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将i2换成－1. ③然后再进行复数的加、减运算． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． ③(1±i)2＝±2i. 知识点02　复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＝＋i. 复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数． 【即学即练2】计算：＝________. 答案　－2＋i 解析　方法一　＝＝ ＝－2＋i. 方法二　＝ ＝＝ ＝＝－2＋i. 反思感悟　复数的除法运算法则的应用 复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． ( 能力拓展 ) 考法01复数代数形式的乘法运算 【典例1】计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　) A．2i－13 B．13＋2i C．13－2i D．－13－2i 答案　D 解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. 【变式训练】若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 答案　B 解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限，所以解得a<－1. 考法02复数代数形式的除法运算 【典例2】设复数z满足＝i，则|z|等于(　　) A．1B.C.D．2 答案　A 解析　由＝i得1＋z＝i(1－z)， 即z＝＝＝＝i，|z|＝1. 【变式训练】)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 答案　A 解析　∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. 考法03在复数范围内解方程 【典例3】在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0. 解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0， 所以(x＋3)2＝－1， 又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2， 所以x＋3＝±i，即x＝－3±i. 方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0， 所以方程的根为x＝＝－3±i. 反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝. ②当Δ<0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． 【变式训练】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是不是方程的根． 解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， 且b，c为实数， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0， ∴解得 (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0， 把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边， 即方程式成立． ∴1－i是方程的根． ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 一、单选题 1．已知i为虚数单位，则（） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】. 故选：A 2．复数的虚部为（）