27.1.2 圆的对称性 讲义（寒假预习） 2022-2023学年九年级华东师大版数学下册

27.1.2 圆的对称性（附解析） 一、学习目标 1.通过观察试验操作，明确圆的定义. 2.结合图形理解圆的基本元素弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角等有关概念. 二、知识要点 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 进一步可得：一般地，在“直径（或过圆心的直线或线段）、垂直弦、平分弦、平分弧（优弧或劣弧）”几个关系中，只要知道其中两个关系存在，其余关系也存在。不过有个特例，如果被平分的弦也是直径，则不一定存在上述关系。 常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解． 常作辅助线：弦心距。 利用弦的垂直平分线可以确定圆心。 三、典例分析 1、垂径定理 例1．如图，中，，，，以为半径的交于D，求的长． 【答案】． 【思路点拨】先根据勾股定理求出的长，过C作，交于点M，由垂径定理可知M为的中点，由三角形的面积可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 过C作，交于点M，如图所示， ∴M为的中点， ∵，且， ∴， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴． 【解题反思】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 2、垂径定理的推论 例2．如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，，则的半径为（     ）． A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【思路点拨】连接，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵C是的中点， ∴， 又∵为圆心， ∴，且， 在中，， 即的半径为， 故选：C 【解题反思】此题考查了垂径定理的推论和勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 3、垂径定理的实际应用 例3．在直径为60cm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图所示，若油面宽，则油的最大深度为_______cm． 【答案】 【思路点拨】先连接，过点作⊥，交⊙于，根据垂径定理，即可求得的值，然后在中，利用勾股定理，即可求得的值，继而求得油的最大深度． 【详解】如图，过作⊥于点，并延长交于点，连接， 依题意得就是油的最大深度， 根据垂径定理得：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 即油的最大深度是． 故答案为：． 【解题反思】此题考查了垂径定理的应用，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 四、针对训练 1．如图，圆的半径垂直弦于点，连接并延长交圆于点，连接．若，，则长为（     ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，弦垂直于的直径，垂足为，且，，则的长是（　 　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，是的直径，弦于点E，，则（　 　）cm． A．8 B．5 C．3 D．2 5．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　 　） A．点D B．点E C．点F D．点G 6．铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度为，凹坑最大深度为，由此可算得铲车轮胎半径为________． 7．在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 8．如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______． 9．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，则水深是___________． 10．已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为_______cm． 11．如图，已知在半圆中，，，，求的长． 12．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 13．“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩．如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m．小明乘坐的车厢经过点B时开始计时． (1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？ (2)在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？ 14．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米