精品解析：上海市复兴高级中学2022届高三上学期10月月考数学试题

上海市复兴高级中学2021-2022学年高三上10月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则________. 2. 函数的定义域是________. 3. 若复数（为虚数单位），则______． 4. 若实数x，y满足，则的取值范围是__________； 5. 已知向量，，则__． 6. 若展开式中的常数项为5，____________. 7. 关于的不等式的解集为__． 8. 已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为__． 9. 设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若，，且，则 数列{bn}公比为 ． 10. 设为实数，函数（），若有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__． 11. 平面内，若三条射线､､两两成等角为，则，类比该特性：在空间，若四条射线､､､两两成等角为，则___________. 12. 对于函数，若定义域中存在实数满足且，则称函数为“函数”．设且，若函数为“函数”，且的最小值为5，则实数的取值范围为__． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 下列函数中，与函数的值域相同的函数为 （ ） A B. C. D. 14. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 15. 已知符号函数 是上的增函数，，则 A. B. C. D. 16. 设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，在直三棱柱中，，点、分别为、的中点，与底面所成的角为arctan2． （1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点与平面的距离． 18. 已知函数，其中，且． （1）当时，若，求实数的取值范围； （2）若存在实数使得方程有两个实根，求实数取值范围． 19. 某环保部门对某处的环境情况用“污染指数”来监测，据测定，该处的“污染指数”与附近污染源的强度和距离之比成正比，比例常数为．现已知相距的，两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数1，，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．设． （1）试将表示为的函数，指出其定义域； （2）当工厂的污染强度时，试求点处“污染指数”的最小值． 20. 已知椭圆，圆的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2，过点作直线交椭圆于､两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线方程； （3）若，求的取值范围. 21. 若定义在上的函数满足：对于任意实数，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数． （1）已知为“类余弦型”函数，且，求和值； （2）在（1）的条件下，定义数列，求的值； （3）若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数，总有，证明：函数为偶函数；设非零有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市复兴高级中学2021-2022学年高三上10月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，因此，. 故答案为：. 2. 函数的定义域是________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则， 解得，且； 故函数的定义域为：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 3. 若复数（为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】 分子分母同时乘以，可求出，写出，两者相乘，即得结果，或者利用，亦能得出结果. 【详解】由题意可知： 法一：∴ ∴； 法二：∴ 【点睛】复数除法的简单运算，考查学生利用复数除法的运算，解决复数问题的能力，会使用来处理相关计算问题，为简单题. 4. 若实数x，y满足，则的取值范围是__________； 【答案】； 【解析】 【分析】令，，可将化为，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】 可令， 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解. 5. 已知向量，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出，再根据两角和的正切公式可求出结果. 【详解】