17.1勾股定理 讲义 2022—2023学年人教版数学八年级下册

第04讲 17.1勾股定理 素养目标 1. 掌握勾股定理的内容，能灵活运用勾股定理进行计算，会用面积法证明勾股定理. 2. 能应用勾股定理解决简单的实际问题，建立数形结合的思想，会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 3. 能利用勾股定理在数轴上作出表示无理数的点. 知识清单 1．勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b 2＝c 2. 几何语言：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 所以a 2＋b 2＝c 2. 2．利用勾股定理求直角三角形的边长的方法：一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”， 即一分：分清哪条边是斜边，哪些是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式代入a2＋b 2＝c 2（假设c是斜边）；三化简． 3．勾股定理的证明： （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 4．与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论： 两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积． 5．勾股定理的简单应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 6．平面展开-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）数形结合的思想：从实际问题中抽象出数学模型． 7．利用勾股定理表示无理数的方法： （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 8．网格与折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程； (4)解这个方程，从而求出所求线段长. 考点精讲 题型1：运用勾股定理进行计算 【例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c． （1）已知a＝b＝6，求c； （2）已知c＝3，b＝2，求a； （3）已知a：b＝2：1，c＝5，求b． 【练习】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c （1）已知a＝12，b＝5，求c； （2）已知a＝3，c＝4，求b； （3）已知c＝10，b＝9，求a． 题型2：勾股定理的证明 【例题】（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【练习】（2022春•龙凤区期中）如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论： ①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是（a+b）2；④（a+b）2c2＝2ab； ⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 题型3：勾股定理与面积的关系 【例题】观察下列图形，回答问题： 问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为　 　． 问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是　 　（用图中字母表示） 问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积． 【练习】（2022春•东莞市期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形， 四边形都是正方形，已知正方形N、M、Q、P的边长分别是1，3，3，5， 则最大正方形G的面积为（　　） A．12 B．15 C．38 D．44 题型4：勾股定理的简单应用 【例题】（2022秋•南关区校级期末）如图，水池中离岸边D点4米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC