等比数列及其前n项和题型全归纳 讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学等比数列及其前n项和题型全归纳 题型一:等比数列基本量的运算(“知三求二) 知识储备:1.通项公式: 变形公式:① ② 2.求和公式 方向一:基本量运算 方法提示:构造比值法和整体带入法(降次消元) 例一:等比数列中,若, , 则_. 例二:等比数列中,若,, 求的值。 变式1:已知等比数列满足,则( ) A.168 B.210 C.672 D.1050 变式2.正项等比数列满足:a3=a2+2a1,若存在,使得,则+的最小值为( ) A. B. C. D.[ 变式3:已知等差数列的首项和公差均不为0,且满足成等比数列,则的值为_. 变式4:已知等比数列,若,,求. 变式5:已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为( ) A. B.- C. D.- 方向二:等差等比数列基本量运算综合 例一:设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2.a3+4构成等差数列,则an=_. 变式1:已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S1,S2+a2,S3成等差数列,则数列{an}的公比为( ) A.1 B.2 C. D.3 变式2:设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为_. 变式3:已知等比数列的公比,其前n项和为,且,则数列的前2021项和为_. 题型二:等比数列的判断或证明 知识储备:判定一个数列为等比数列的常见方法: (1)定义法:若=q(q是非零常数),则数列{an}是等比数列; (2)等比中项法:若a=anan+2(n∈N*,an≠0),则数列{an}是等比数列; (3)通项公式法:若an=Aqn(A,q为非零常数),则数列{an}是等比数列. 方向一:定义法,若=q(q是非零常数),则数列{an}是等比数列. 例:已知数列满足,且,则_. 方向二:等比中项法若a=anan+2(n∈N*,an≠0),则数列{an}是等比数列 例:已知数列,,,且满足,则 . 方向三:其他类等比数列证明 例1:设数列的前n项和为,且满足(). (1)证明:数列是等比数列; (2)令,求数列的前n项和. 例2:已知数列满足对任意的正整数n,均有,且. (1)证明:数列为等比数列,并求数列的通项公式; (2)记bn=,求数列的前n项和. 变式1:设数列的前n项和为Sn,已知,. (1)设,证明:数列是等比数列; (2)求数列的通项公式. 变式2:.已知数列的首项为……,证明:数列是等比数列. 变式3:已知数列中判断数列是等比数列,并说明理由 题型三:等比数列的性质 知识储备:设等比数列的公比为则:①若,且,则,特别地,当时. ②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列,公比为. ③若,是项数相同的等比数列,则、、(是常数且)、、(,是常数)、、也是等比数列; ④连续项和(不为零)仍是等比数列.即,,,…成等比数列. 方向一:等比中项的应用 例一:如果成等比数列,那么( ) A. B. C. D. 例二:在等比数列中,是方程x2+6x+2=0的两个实数根,则的值为( ) A.2 B.-或 C. D.- 变式1:已知各项均为正数的等比数列中,,,则等于( ) A.4 B.6 C.7 D.5 变式2:已知各项均为正数的等比数列中,,则的值为( ) A.100 B.-100 C.10 000 D.-10 000 变式3:已知各项均为正数的等比数列满足a1=,且,则a9=_. 变式:4:在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_。 变式5:等比数列中,若,求. 方向二:等比数列,则,,,…成等比数列. 例一:在等比数列中,已知,,求. 例二:等比数列中,若, , 则_. 变式1:等比数列中,若,, 求的值。 变式2:设等比数列中,前n项和为,已知,,则等于( ) A. B.- C. D. 变式3:.各项均为正数的等比数列的前n项和为,若,,则等于( ) A.80 B.30 C.26 D.16 变式4:已知等比数列的前n项和为,,,则等于( ) A.8 B.6 C.4 D.2 题型四:等比数列最值问题 知识储备:等比数列中,,若设,则: (1)当时,,等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点. (2)当时,等比数列的通项公式是关于的指数型函数; ①当且时,等比数列是递增数列; ②当且时,等比数列是递减数列; ③当且时,等比数列是递减数列; ④当且时,等比数列是递增数列。 (3)当时,等比数列是摆动数列。 例一:(多选题)已知等比数列满足,公比,则( ) A.数列是等比数列 B.数列是递减数列 C.数列是等差数列 D.数列是等比数列 例二:数列的前n项和为,且3a