27.2 相似三角形的性质 讲义及练习 2022-2023学年人教版九年级数学下册

1、 上节课复习与回顾(包含作业检查) 知识点一: 有关相似形的概念 相似图形 我们把形状相同的图形叫相似图形(similar figures).在相似多边形中,最简单的是相似三角形. 要点诠释: (1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形; (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两个图形是全等; 相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 要点诠释: (1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质. (2)相似多边形对应边的比称为相似比. 【思路点拨】 (1)相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形; (2)如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,我们就说它们是相似多边形. 2、 课程导入 前面我们学习过,能够完全重合的两个图形我们叫做全等形,而全等形的两个图形大小形状完全相同;那么形状相同大小不一定相同的两个图形叫做相似图形,而全等形中又有全等三角形,那相似图形中呢?又是否存在相似三角形这一概念呢? 三、本节知识点讲解 知识点一:相似三角形的概念 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似用符号“∽”表示,读作“相似于” .相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数).相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注: ①对应性:即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边. ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的. ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例. 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理 (1)相似三角形的等价关系: ①反身性:对于任一有∽. ②对称性:若∽,则∽. ③传递性:若∽,且∽,则∽ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 定理的基本图形: 用数学语言表述是:, ∴ ∽. 例题解析 例1、判断对错: (1)两个直角三角形一定相似吗?为什么? (2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么? (3)两个等腰直角三角形一定相似吗?为什么? (4)两个等边三角形一定相似吗?为什么? (5)两个全等三角形一定相似吗?为什么? 巩固练习 变式1、两个相似比为1的相似三角形全等吗? 变式2、下列能够相似的一组三角形为( ) A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 【总结升华】由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不一定相似. (1)两个直角三角形,两个等腰三角形不一定相似. (2)两个等腰直角三角形,两个等边三角形一定相似. (3)两个全等三角形一定相似,且相似比为1;相似比为1的两个相似三角形全等. 本知识点小结: 知识点二: 三角形相似的判定方法 1、定义法:三个对应角相等,三条对应边成比例的两个三角形相似. 2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. 4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简 述为:三边对应成比例,两三角形相似. 6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 注: 射影定理:在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高, 则AD2=BD·DC,AB2=BD·BC ,AC2=CD·BC 。 相似三角形的常见图形及其变换: 例题解析 类型一、相似三角形 例1、下列能够相似的一组三角形为( ). A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 例2、判断对错: (1)两个直角三角形一定相似吗?为什么? (2)两个等腰三角形一定相似吗?为什么