中篇 专题三 第二讲 统计与统计案例(小题)（Word教参）-【优化指导】2023高考数学二轮复习高中总复习·第2轮（新教材）

第二讲　统计与统计案例(小题) 考点一 随机抽样 两种抽样方法的特点、联系及适用范围 类别 简单随机抽样 分层随机抽样 共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 各自 特点 从总体中 逐个抽取 将总体分成几层，分层进行抽取 联系 各层抽样时，采用简单随机抽样 适用 范围 总体个数较少 总体由差异明显的几部分组成 1．(2022·湖北武汉一模)某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 600，1 100，800，现用分层随机抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高. 如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160 cm，165 cm，170 cm，则下列说法正确的是(　D　) A．高三年级抽取的学生数为32人 B．高二年级每个学生被抽取到的概率为 C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大 D．所有学生的平均身高估计要小于165 cm 解析：根据分层随机抽样的定义，高三年级抽取的学生数为×32＝16，A错误；分层随机抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为＝，B错误，C错误；1 600＋1 100＋800＝3 500(人)，所有学生的平均身高为×160＋×165＋×170≈163.9(cm)，D正确． 2．(2022·江苏扬州模拟)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层随机抽样的方法，则北乡共有__8_100__人． 解析：设北乡有x人，根据题意得＝， 解得x＝8 100，故北乡共有8 100人． 进行分层随机抽样的相关计算时，常用到两个关系： (1)＝. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比． 考点二 用样本估计总体 1．用样本的频率分布估计总体的频率分布 (1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×. (2)频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1. 2．统计中的五个数据特征 (1)众数：在样本数据中出现次数最多的那个数据． (2)中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． (3)平均数：如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)， (4)第p百分位数：将一组数据(共n个)按从小到大排列，计算i＝n×p%，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． (5)方差与标准差 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. s＝. 1．(2022·山东临沂摸底考试)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是(　A　) A．32.5 mm　　　　　 B．33 mm C．33.5 mm D．34 mm 解析：棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在35 mm以下的比例为85%＋10%＝95%，因此，90%分位数一定位于[30，35]内，由30＋5×＝32.5，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm. 2．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则(　CD　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 解析：设x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差和极差分别为，m，s，t， 则y1，y2，…，yn的平均数为 ＝＝＋c， 中位数为m＋C．由标准差和极差的性质可知y1，y2，…，yn的标准差为s，极差为t. 综上，两组样本数据的样本平均数和中位数不相同，标准差和极差相同． 3．(2022·全国甲卷理)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则(　B　) A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲