精品解析：上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高一下期末考试 数学试卷 2021.6.24 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______. 2. 等差数列中，，，则数列的通项公式______. 3 若，对于任意正整数，令，计算后，可猜想______. 4. 记，在用数学归纳法证明对于任意正整数，的过程中，从到时，不等式左边的比增加了______项. 5. 数列中，，，则数列的前62项之和______. 6. 若，则______. 7. 某附属中学有四个学院：步青学院，家祯学院，希德学院，望道学院；共474人，这四个学院的学生人数依次分别为，若构成公差为12的等差数列，构成等比数列，则步青学院的人数为______. 8. 在平行四边形中，分别为上的点，且，连接，与交于点，若，则的值为______. 9. 若各项均为正数的数列中，，前项和为，对于任意的正整数满足，则数列的通项公式______. 10. 严格递增数列满足，（为正整数），若数列的前项和为，则______. 11. 已知是平面内两两互不平行的向量（为正整数），满足，，则的最大值为______. 12. 定义“二元函数”如下：；例如：，对于奇数m，若任意，存在为正整数，且（彼此不同），满足，则最小的正整数m的值为___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 数列满足，，若让字母表中的分别依次对应数字，将数列的一些排成一列就会对应一个字符串；如：，对应字符串，若存在某数列中出现了，则这个数列对应的字符串可能是下面的（ ） A B. C. D. 14. 平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（ ） A. 重心 B. 外心 C. 垂心 D. 内心 15. 若以为首项，为公比无穷等比数列各项的和为，以为首项，为公比的无穷等比数列各项的和为，则为（ ） A. B. C. D. 16. 数列满足（，n为正整数），则下列命题中真命题的个数是（ ） ①若数列满足，则（，n为正整数）； ②若（其中p､q､m､n为正整数），则； ③一定存在常数d，使得（，n为正整数）都成立； ④一定存在常数q，使得（，n为正整数）都成立. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列的前项的和为，数列是公比为的等比数列. （1）若，求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求. 18. 如图，若，，，点分别在线段上，且满足. （1）求； （2）求 19. 某人在工作一段时间后制定了如下理财计划：将自己第一年末总资产均分成两半，一半进行再投资，获取资金增值，另一半留在身边作为备用金，并支付生活费开支，第二年末将当年固定收入，投资的本金和收益与身边备用金的余额合并，并按加上理财计划进行再分配，以此类推，已知投资部分每年获得4%的收益，生活费开支需要每年万元. （1）若此人每一年末总资产为万元，每年有固定收入万元，到第年末，此人的总资产为，试证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）若此人岁退休时有总资产万元，此后每年固定收入为元，按照他的理财计划，那么在他第几岁那一年内，将会遇到个人财政赤字（即当年的备用金低于当年的生活费开支） 20. 平面直角坐标系中，已知为坐标原点，，对任意正整数，均有. （1）求点的坐标； （2）设，数列的前项和为，求； （3）如图，过点作线段，使为的中点，且，求的取值范围. 21. 若有穷数列满足（这里，常数），则称有穷数列具有性质. （1）已知有穷数列具有性质（常数），且，试求的值； （2）若有穷数列具有性质（常数），令（均为正整数，，），判断有穷数列是否具有性质，并说明理由； （3）若有穷数列具有性质，其各项的和为，将中的最大值记为，当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高一下期末考试 数学试卷 2021.6.24 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点坐标计算出向量坐标即可. 【详解】 故答案为: . 2. 等差数列中，，，则数列的通项公式______. 【答案】 【解析】 【分析】由题得，写出通项即可. 【详解】由题得 则 故答案为：. 3. 若，对于任意正整数，令，计算后，可猜想______