17.1 勾股定理（知识点+方法+题型）-【三维同步讲练】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教版）

17.1勾股定理 1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 知识点①　勾股定理★★★ 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 注意： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，，. 【例题精析1】 在中，，，，则的长为（　　） A．3 B．3或 C．3或 D． 【例题精析2】 若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（） A． B． C．或 D．或 【例题精析3】 在中，，且，若，那么的值是（） A．1 B．5 C． D． 【对点精练1】 已知中，，则它的三条边之比为（） A．：： B．：： C．：： D．：： 【对点精练2】 如图，在中，，，则的值是(　　) A．10 B．34 C．25 D．41 【对点精练3】 在中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则c等于（） A．6 B．8 C．10 D．或10 【对点精练4】 如图，在中，，，的面积为90，则AC的长是（） A．9 B．12 C． D．24 知识点②　勾股定理的验证★★☆ 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 下图中： ，，化简可证； 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形. 下图中：，，化简可证 　　　　　　 方法三：下图所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 ，，化简得证； 【例题精析1】 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是() A． B． C． D． 【例题精析2】 我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（） A．B．C． D． 【例题精析3】 如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（） A．5 B．4 C．3 D．2 【例题精析4】 根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（） A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 【对点精练1】 下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【对点精练2】 如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为（） A．25 B．28 C．16 D．48 【对点精练3】 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（） A． B． C． D． 【对点精练4】 数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的和如图所示摆放，使点，，在同一条直线上，中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明．请写出证明过程． 【对点精练5】 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请回答下列问题： (1)请叙述勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么　　； (2)请你利用会徽中的“弦图”证明勾股定理． 【对点精练6】 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个