6.2.1 向量的加法运算-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.2.1 向量的加法运算 1向量加法的三角形法则 已知向量非零向量在平面内取任意一点作，则向量叫做与的和，记作，即. 解释 (1) 物理知识告诉我们，质点经过，两次位移，相当于从点直接到点的位移结果相同，位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型； (2) 若质点超过两个呢？若下图，同理可得, 相当于”首尾相接”. 2 向量加法的平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量，，以,为邻边作，则以为起点的向量 （是的对角线）就是向量与的和. 如下图，，则； 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 解释 一个物体同时收到两个外力与的作用，那如何确定合力呢？由物理知识可知，合力在以,为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长. 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. 【例】 已知向量，，求作向量. 解 作法1 如图，在平面内任取一点，作，则; 作法2 如图，在平面内任取一点，作，以,为邻边作，连接，则. 3 向量三角不等式 一般地 , 我们有 当且仅当方向相同时等号成立. 解释 当，不共线时，由三角形三边关系，可得; 当，反向时，， 当，同向时，， 综上，当且仅当方向相同时等号成立. 同理易得，故. 4 运算律 向量的加法满足交换律和结合律，即，. 【题型1】 向量加法的理解 【典题1】如图，在正六边形中，是其中心． 则①　 　；②　 　；③　 　． 解析 ①； ②； ③． 点拨 利用平行四边形法则或三角形法则求向量加法. 【典题2】向量化简后等于 　　． 解析 向量． 点拨 利用首尾相接法. 【典题3】是平行四边形外一点，求证：． 解析 ， 因为是平行四边形，所以， 所以. 【巩固练习】 1.在中，下列四个结论中正确的是( ) ① ② ③ ④． A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 解析 ；结论②正确； 两边之和大于第三边，；即结论③正确； 结论正确的是②③． 故选：． 2.在四边形中，若，则四边形的形状一定是( ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案 解析 在四边形中，，且，； 即，且，如图所示； 四边形是平行四边形． 故选：． 3.化简__________． 答案 解析 原式． 4.若“向北走”， “向东走”，则__________；的方向是________． 答案 ，东北方向. 解析 由向量加法的平行四边形法则，知，方向为东北方向. 5.如图所示，中心为的正八边形中，，，试化简． 答案 解析 因为，， 所以 ． 【题型2】 向量三角不等式 【典题1】 已知向量，，则的最大值是　 　，最小值是　　． 解析 因为，所以， 当，方向相同，取到最小值； 当，方向相反，取到最大值10. 点拨 向量三角不等式. 【典题2】对于任意向量，下列说法正确的是( ) A． B． C． D． 解析 对于，任意向量，都有，正确； 对于，当向量是非零向量，且互为相反向量，时，，错误； 对于，当向量是非零向量，且互为相反向量，时，，错误； 对于，当向量是非零向量，且互为相反向量，时，，错误． 故选：． 【巩固练习】 1.下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是( ) ①；②； ③；④． A． B． C． D． 答案 解析 如图：在边长为的正方形中，设，， 则有，，，故①可能正确； 当，都是时，②正确， 如果在同一条直线上．两个向量相反③正确， 当，同向且都不为时，④正确 综合选项，一定不能成立的个数是， 故选：． 2.向量，满足，，则的最大值是 　 　． 答案 解析 由性质， 可知当，方向相同时，取得最大值． 故答案为：． 3.已知，，则的取值范围是 ． 答案 解析 由，得， 由， 得． 【题型3】 向量加法的运用 【典题1】 用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． 证明 根据向量加法的三角形法则有． 又， ， ． ， 即平行且相等． 四边形是平行四边形． 【典题2】在长江某渡口上，江水以的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向． 解析 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶， 设渡船速度为，水流速度为，船实际航行的速度为，则． 依题意作出平行四边形，如图． 在中，， ， ． ． 渡船实际航行的速度大小为，方向为东偏北． 【巩固练习】 1.一艘船以的速度沿着与水流方向成的方向航行，已知河水流速为，则经过，该船实际航程为　 　． 答案 解析 根据题意，画出示意图，如图所示，表示水流速度，表示船在静水中的速度， 则表示船的实际速度， 又，，， 则， 所以，． 所以实际速度为，则实际航程为． 故