6.1 平面向量的概念-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.1 平面向量的概念 1 向量的概念 向量：既有大小又有方向的量. 解释 (1) 对一块豆腐施加向下的力与向上的力，虽然力的大小一样，但方向不同，最后产生的效果不一样. 故研究既有大小又有方向的量是存在实际必要性的，你还能举出生活中什么例子么？ PS 学数学每个知识点要思考其在实际应用或数学理论中的必要性或背景，特别是一新概念；不要把它看成“又多了一个高考知识”，要不你学数学讨厌欧几里得，学物理恨牛顿！ (2) 力、位移、速度等是向量，而只有大小没有方向的量称为数量，如身高、颜值、体积等. (3) 物理中称向量是矢量，数量为标量. 2 向量的几何表示 向量可以用有向线段表示，也可以用字母. 解释 (1)在线段中，以为起点，为终点，我们就说线段具有方向，具有方向的线段叫做有向线段； (2)向量是以为起点，为终点的；起点写在终点前面； (3)向量的长度是向量的模，记作. 3 常见向量的概念 名称 定义 特点 零向量 长度为的向量，记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度为一个单位长度的向量 若是单位向量，则 相等向量 长度相等且方向相同的两个向量 相等向量有传递性 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，， 记作 零向量和任何向量平行 相反向量 长度相等方向相反的向量 的相反向量记作(即) 解释 (1) 相等向量 有什么量是会受位置影响的呢？学过物理的都会说：重力，贵哥在月球和在地球的重力肯定不一样的，但是贵哥的颜值则不管在月球还是在地球都是那么高的，颜值这个量就不受位置的影响. 若向量与向量的方向相同且大小相等，则，与向量的起点无关，即说白就是相等向量不受位置的影响，可以任意平行移动的！ (2) 平行向量(共线向量) 平面向量在平面内可以任意平行移动，而线段不一样，则两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念. 图一中线段和在①中是，在②中是、共线； (图一) 图二中向量和对于向量来说共线与平行是同一概念，故①和②的情况是一样. (图二) 故平行向量与共线向量是同一个概念； (3) 平行向量无传递性(因为有； (4) 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量； (5) 与共线的单位向量是. 【例】如图，设是正六边形的中心， (1)写出图中的共线向量；(2)分别写出图中与，，相等的向量. 【题型1】 向量的概念及表示 【典题1】给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移．正确的是( ) A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【典题2】给出下列命题 ① 由于零向量方向不确定，故不能与任一向量平行； ② 若均是单位向量，则； ③ 若满足且与同向，则； ④ 若，且同一起点，则它们的终点相同； ⑤ 若 则； ⑥ 若，则. 其中正确命题数是哪些？ 【巩固练习】 1. 下列物理量中，不能称为向量的是( ) A．质量 B．加速度 C．位移 D．力 2.下列说法中正确的是(　　) A．所有单位向量相等 B．零向量是没有方向的向量 C．若是平行向量，则的方向相同或相反 D．向量与向量的大小相等 3.设是正方形的中心，向量是( ) A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 4.给出下列结论： (1)若，则； (2)向量的模一定是正数； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (4)若, 则； 其中正确结论的序号是________． 【题型2】 相等向量与共线向量 【典题1】 若四边形满足：且，则四边形的形状是(　　) A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【典题2】如图所示，是正六边形的中心，且， (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)与的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请一一列出与相等的向量． 【典题3】某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从处出发向西迂回了到达地，然后又改变方向向北偏西走了到达地，最后又改变方向，向东突进到达处，完成了对蓝军的包围． (1)作出向量； (2)求． 【巩固练习】 1.下列关于向量的命题正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 2.下列说法中正确的是(　　)A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则不是共线向量 3. 下列命题正确的是( ) A．若，，则 B．向量与向量的长度相等 C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 4.如图，在正中，，，均为所在