6.3.1 平面向量的基本定理-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.3.1 平面向量的基本定理 平面向量的基本定理 设 ， 同一平面内的两个不共线向量， 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使 . 我们把，叫做表示这个平面内所有向量的一个基底. 如下图，，其中，. 解释 (1) 基底，要求 ， 是不共线向量； (2) 唯一性：若不共线，且则 (3) 平面内任一向量均可由同一个基底唯一表示，这对研究问题带来极大的便利. 【题型1】 平面向量的基本定理的理解 【典题1】如果，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A．与 B．与 C．与 D．与 解析 ，是平面内一组不共线的向量，作为基底的向量，前提为不共线向量， 所以对于选项都为不共线向量，选项:和为共线向量． 故选 ． 点拨 作为基底的两个向量要求不共线. 【巩固练习】 1.若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　) A．， B．， C．， D．， 答案 解析 观察四个选项，对于选项：， 故与共线，所以不能作为基底； B，，故与共线，所以不能作为基底； C：若与共线，则，可得， 故不存在使，故与不共线，所以能作为基底； D，，故与共线，所以不能作为基底； 故选：． 2.如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是(　　) A. ，是该平面所有向量的一组基， B. ，是该平面所有向量的一组基， C. ，不是该平面所有向量的一组基， D. ，不是该平面所有向量的一组基， 答案 解析 结合题意，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，故错误， 又， 故选：． 3.若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是(　　) A. 不可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对 C. 若均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使 D. 若存在实数，使，则 答案 解析 对于，因为，是平面内两个不共线的向量， 所以，可以作为平面中所有向量的一组基底，故错误； 对于，由平面向量基本定理可知，错误； 对于，当时，这样的有无数个，故错误； 故选：． 【题型2】 平面向量的基本定理的运用 【典题1】 已知在中，分别是边上的点，且，，与相交于点记，，用，表示的结果是 . 解析 如图， 由题意，可知，， 设， 则有： ① 又设， 则有 ② 通过比较①②，可得关于的二元一次方程组：， 解此二元一次方程组，得， 将结果带入①式，可得：， 故选：． 点拨 1.若不共线，且，则 2.向量用同一基底，以两种方式表示，由平面向量基本定理的唯一性求出，，得到. 【典题2】如图，在平行四边形中，分别为的中点，且，，则　 　． 解析 ， ， ，即， ，， ，即， 由①－②得，， ． 故答案为：． 点拨 本题直接使用数量积的定义处理显然不行，选择正确基底，，其他向量用基底表示，则可把问题转化为基底的问题. 【巩固练习】 1.在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若 ，则(　　) 答案 解析 由题意得， ，，． 故选：． 2.在三角形中，若，，，为边的三等分点，则(　　) A． B． C． D． 答案 解析 若， 则，即有， ，． 为边的三等分点， 则 ． 故选：． 3.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 . 答案 解析 因为，所以， 又因为，所以， 又因为，，三点共线， 所以， 即， 所以， 所以，解得． 4.如图，在梯形中，，，，，，， 则 . 答案 解析 在梯形中，，，，，， ， ， 则. 5.如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，则的值为 . 答案 解析 因为，， 所以，， 又， 所以，，故． 【A组---基础题】 1.设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．和 B．和 C．和 D．和 答案 解析 ，是平面内所有向量的一组基底，，不共线， 与不共线，和不共线，和不共线， ， 故和共线， 故选：． 2.在中，点满足．记，，则(　　) 答案 解析 由题意可得，，故．故选：． 3.如图，在四边形中，，分别为的中点，若，，则(　　) 答案 解析 由题意知，， 因为，分别为，的中点， 所以，， 所以， 所以， 因为，， 所以． 故选：． 4.如图，在中，，，直线交于点，，则(　　) 答案 解析 ， ，，三点共线， ，化简整理得． 故选：． 5