6.2.4 向量的数量积-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.2.4 向量的数量积 1 概念 如果两个非零向量 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作:，即 解释 (1) 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功; (2) 规定：零向量与任一向量的数量积是; (3) 若，那我们说与垂直，记作； (4) 数量积是一个实数，不再是一个向量； (5) 注意确定向量的夹角，其中与的夹角，而与的夹角， 【例】若是边长为的等边三角形，求数量积. 解 . 2 投影  是非零向量，向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于. 3 数量积的性质 设 是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 (1) ， (2) ， (3) 当与同向时，；当与反向时，. 特殊地，. (4) . 4 运算法则 对于向量 和实数，有 (1) (2) (3) ( 但是 不一定成立. (当向量，不共线时，向量与向量肯定不共线，那怎么可能相等呢) 即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律. 【题型1】 求数量积 【典题1】 在边长为的菱形中，若，则　　． 解析 ． 点拨 根据数量积的定义求解. 【典题2】已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为 ． 解析 ，， ，， 点为边的中点， ． 点拨 直接用数量积的定义求显然不好求，则把转化为向量，的问题，因为已知条件中均与，有关. 【典题3】 已知，与的夹角是． (1)计算；(2)当为何值时，． 解析 (1)． (2)，， ，即，解得， 故当时，成立． 点拨 利用数量积的性质求向量的模. 【巩固练习】 1.在中，，则　 ． 答案 解析 在中，， 由． 2.四边形中，，，，，则 　 ． 答案 解析 如图所示， 四边形中，，，， 所以 ． 3.已知向量满足，，则 . 答案 解析 因为，， 所以， 解得． 4.已知向量满足，且，则 . 答案 解析 因为，即有， 所以，则， 所以． 5.已知平面向量的夹角为，且，则的最小值为 . 答案 解析 平面向量的夹角为， ， ， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为. 【题型2】 求向量夹角 【典题1】已知． (1)求与的夹角及； (2)当与的夹角为钝角时，求实数的取值范围． 解析 (1)根据题意，设与的夹角为， 若，则有， 解可得， 又由，则； ，则； (2)根据题意，当与的夹角为钝角时， 有且与不共线， 则有，解可得， 若与共线，设，则有，则有， 若与不共线，必有， 故的取值范围为． 点拨 与的夹角为钝角等价于且与不共线. 【巩固练习】 1.若向量满足，且，向量的夹角为 . 答案 解析 由，则， 又，则， 则， 又，则． 2.已知向量是两个非零向量，且，则与的夹角为 . 答案 解析 设，且设1， 所以， 即，得， 所以， ，． 3.已知向量满足，，则与的夹角的最大值为 . 答案 解析 ， ， ， ，且， 时，的夹角最大为． 【题型3】数量积的综合运用 【典题1】 已知是所在平面内一点，向量满足条件，且，则是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析 ，， ，， ，，， ，， 同理，是等边三角形， 故选：． 【典题2】已知为所在平面内的一点，，若点在线段上运动，则的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析 由题意，画图如下， 根据题意及图，可知， ， 整理，得， 则 ， 设，很明显， 故， 根据二次函数的性质，可知： 当时，取得最小值为． 故选：． 【巩固练习】 1.在四边形中，若，且，则该四边形一定是　　 A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形 答案 解析 根据题意，在四边形中，若， 即且，四边形为平行四边形， 又由， 则有，变形可得， 则有，即与垂直，则该四边形一定是矩形， 故选：． 2.所在平面内，满足，且，则，，依次是的(　　) A．重心，外心，内心 B．重心，外心，垂心 C．外心，重心，内心 D．外心，重心，垂心 答案 解析 ，， 设的中点，则， 三点共线，即为的中线上的点，且． 为的重心． ，，为的外心； ， 即，， 同理可得：，， 为的垂心； 故选：． 3.如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，是线段上的动点，则最小值是　　. 答案 解析 由等腰梯形的知识可知， 设，则， ， 当时，取得最小值，最小值为()2． 故答案为：． 4.已知中，是直角，，点是的中点，为上一点． (1)设，当，请用来表示． (2)当时，求证：． 答案 (1) ，(2)略. 解析 (1)，点是的中点，， ， ，． 证明：(2)设，则， ，， ， 中，是直角，