6.2.3 向量的数乘运算-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习(人教A版2019必修第二册)

6.2.3 向量的数乘运算 1 向量数乘运算 一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作； 它的长度与方向规定如下： (1)； (2) 当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与方向相反. 【例】若已知向量如下图，且，作出，，并求出和. 解 向量，如下图，其中，. 2 线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量 对于任意向量，以及任意实数，，，恒有. 【例】计算. 解 . 3 两个向量共线 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 当时的方向与的方向相同； 当时，的方向与方向相反； 当 时，. 4 三点共线定理 若 (1) 如图一，若三点共线，则； (2) 如图二，若点和点在同侧，则； (3) 如图三，若点和点在异侧，则； 图一 图二 图三 特殊的，在三角形中，点是的中点，则. 【题型1】 向量的数乘 【典题1】 计算： . 解析 原式. 【典题2】点在线段上，且，若，则(　　) A． B． C． D． 解析 点在线段上，且，如图所示； 若，即；所以． 故选：． 【巩固练习】 1.已知，则下面关系正确的是(　　) A．同向 B． C． D．若，则 答案 解析 当时，反向，且，则错误． 又的结果为，则错误．由运算律知正确． 2.计算　 ． 答案 解析 原式． 3.点在线段上，且，则　 ，　 ． 答案 ，． 解析 ，，．故答案为：，． 【题型2】 向量线性运算 【典题1】 如图，是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则 ( ) A． B． C． D． 解析 ，是半圆弧的两个三等分点， ，且， ． 故选：． 【典题2】 在中，，分别为边，的中点，与交于点，设，，则　( ) A． B． C． D． 解析 方法1 首尾相接法 ，其中， 如图过点作, 是中点， 即 方法2 构造平行四边形法 过点分别作,则四边形是平行四边形， 则 由方法1可得 ， 同理可得, . 点拨 用两个向量表示一个向量，方法很多，常见的有首尾相接法、构造平行四边形法或后面的坐标法，它们多多少少与平面几何内容扯上关系. 【典题3】 点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 . 解析 如图所示， 作，以为邻边作平行四边形 连接，，交于点，交于点 满足， ， ，， ，， 的面积与的面积之比是． 点拨 若，意味着且；即在某些场景中，求两线段长度之比或两三角形面积之比，均可转化为两共线向量的关系. 【巩固练习】 1.如图，、是线段的三等分点，若，，则 ( ) A． B． C． D． 答案 解析 、是线段的三等分点，． ． 故选：． 2.如图，在平行四边形中，设，为边的中点，则 ( ) A． B． C． D． 答案 解析 因为设，为边的中点，则， 选. 3.如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，则的值为(　　) A．1 B． C． D． 答案 解析 因为，， 所以，， 又， 所以，，故， 故选：． 4.如图，是圆的直径，是圆上的点，，，则=　　． 答案 解析 如图过作于， 因为是圆的直径，、是圆上的点， 所以为的中点，连结，则， ，， ， 又， ． 故答案为：． 5.在梯形中，，，为线段上的动点(包括端点)，且，则的最小值为 . 答案 解析 由题，梯形中，，， 为线段上的动点(包括端点)， 设 ， ， ． 又， ， ， 当时，的最小值为． 6.已知点是内一点，且，则 . 答案 解析 延长，交于，画出图形，如图所示； ， 又，，； 又是的中点， ，． 7.设是的重心，分别是角所对的边，若， 则的形状是 . 答案 等边三角形 解析 是的重心，，，， 又， ， ， ． 的形状是等边三角形． 【题型3】向量共线问题 【典题1】 已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数　 　． 解析 ，是两个不共线的向量，向量与共线， ， ，， 则实数． 点拨 共线定理 非零向量与向量共线有且只有一个实数，使得 【典题2】在平面向量中有如下定理：设点、、、为同一平面内的点，则、、三点共线的充要条件是：存在实数，使．试利用该定理解答下列问题： 如图，在△中，点为边的中点，点在边上，且，交于点，设，则　 ． 解析 如图，三点共线，存在实数，使， ， ，， 又； ，①； 同样，，，三点共线，