专题7.23 多边形的内角和与外角和（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题7.23 多边形的内角和与外角和（知识讲解）

【学习目标】

1.理解多边形的概念；

2.掌握多边形内角和与外角和公式；

3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.

【要点梳理】

知识点一、多边形的概念

1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．

2．相关概念：

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：

 

 

 

 

 

 

 

 

特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；

(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；

(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．

知识点二、多边形内角和

n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．

特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；

知识点三、多边形的外角和

多边形的外角和为360°．

特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；

(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；

(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．

【典型例题】

类型一、多边形➽➼概念✭✭对角线（三角形）数量

1．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和．

(1) 求出表示第四条边长的代数式；

(2) 当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形．

【答案】(1)第四边的长为：cm. (2)不能，该图形是一条线段，理由见分析

【分析】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度；

（2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案.

(1)解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和，

第二边为cm，第三边为：cm，

第四边长为：

即第四边的长为：cm.

(2)解：当时，

即前三条边的长的和等于第四条边的长，

所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段.

【点拨】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键.

 

举一反三：

【变式】如图，已知线段a和b，直线AB和CD相交于点O．利用尺规，按下列要求作图：

（1）在射线上作线段，使它们分别与线段a相等；

（2）在射线OD上作线段，使与线段b相等；

（3）连接．

你得到了一个怎样的图形？与同伴进行交流．

【答案】见分析；四边形（筝形）

【分析】（1）根据尺规作图的方法作出线段即可；

（2）根据尺规作图的方法作出线段即可；

（3）根据（1）（2）作出的线段围成的图形即可判断．

解：（1）如图所示，根据题意作出线段；

（2）如图所示，根据题意作出线段；

（3）如图所示，多边形是一个四边形（筝形）．