山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期末数学模拟综合训练（4）

新泰一中北校期末模拟合训练（4）2022.12.27 一、单项选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A.25 B.7 C.5 D. 3. 记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数为定义在R上的奇函数，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6. 已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆E：的左顶点和上顶点分别为A，B，若AB的垂直平分线过E的下顶点C，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是单调递减数列 B. 若，则数列是单调递增数列 C. 时， D. 时， 二、多项选择题 9. 水车在古代是进行灌溉水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，函数单调递增 C. 当时，点P的纵坐标越来越小 D. 当时， 10. 已知等差数列的前n项和为，且，，，则（ ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，n的最大值为14 11. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为定值 D. M为BD的中点时，则二面角的平面角为60° 三、填空题（共4题，总计16分） 13. 已知函数是偶函数，则_________. 14. 若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则______ 15. 已知双曲线C：的左右焦点分别是，，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则_________. 16. 已知P为正方体表面上的一个动点，，M是棱AB延长线上的一点，且，若，则动点P运动轨迹的长为_________. 四、解答题（共6题，总计74分） 17. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，. （1）求； （2）记数列中不超过正整数m的项的个数为，求数列的前100项和. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，求的面积. （1）求证：； （2）设平面与交于点，求证：为的中点． 20. 如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上. （1）求证：； （2）若二面角的平面角为，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由. 21. 已知椭圆E：的离心率为，短轴长为. （1）求椭圆E的标准方程； （2）已知点A、B是双曲线的两个实轴顶点，点P是双曲线上异于A、B的任意一点，直线PA交E于M，直线PB交E于N，证明：直线MN的倾斜角为定值. 22. 过点可以作出曲线的两条切线，切点分别为A，B两点. （1）证明：； （2）线段AB的中点M的横坐标为，比较与a的大小关系. 学科网（北京）股份有限公司 $