7.4 认识三角形-【帮课堂】2022-2023学年七年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

认识三角形 知识点一、三角形的概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义； 如图所示，△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 2. 三角形的基本要素： ①三角形的边：即组成三角形的线段． ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 例：如图，以BC为边的三角形有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【解答】解：以BC为边的三角形有△BCN，△BCO，△BMC，△ABC， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的定义．注意：题目要求找“图中以AB为边的三角形的个数”，而不是找“图中三角形的个数”． 知识点二、三角形的分类 1. 按内角大小分类： 2. 按边的相等关系分类： 例：在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【分析】三角形中最少有两个角是锐角，因此有一个角是锐角时，三角形的形状不能确定． 【解答】解：在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC可能是直角三角形，也可能是锐角三角形或钝角三角形， 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形中锐角的个数． 知识点三、三角形三边的关系 1. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边. 2. 理论依据：两点之间线段最短. 3. 三边关系的应用：①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围；②证明线段间的不等关系. 例：下列长度的三根小木棒，能搭成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，9 D．2，2，4 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知． 【解答】解：A、1+2＝3，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意； B、2+3＞4，满足三边关系定理，故正确，符合题意； C、1+3＜4，不满足三边关系定理，故错误，不符合题意； D、2+2＝4，不满足三角形三边关系定理，故错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形中三边的关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 知识点四、三角形的三条重要线段 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． 在三角形的内部 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 例：如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．BE B．AD C．CF D．AF 【分析】根据三角形的高的定义得出即可． 【解答】解：在△ABC中，AC边上的高是线段BE， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的高的定义，能熟记三角形的高的定义的内容是解此题的关键． 知识点五