专题15 单调性问题-2023年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题15 单调性问题 【题型归纳目录】 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 题型二：求单调区间 题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 题型四：不含参数单调性讨论 题型五：含参数单调性讨论 【考点预测】 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； （4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； （5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； （6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【方法技巧与总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 注①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数. ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立.因为，即或，当时，函数在区间上单调递增.当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 【典例例题】 题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 【方法技巧与总结】 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）. 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于不等式对， 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为； 当时，，则结合图象，知原不等式的解集为． 综上，原不等式的解集为． 故选：A 例2．（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由导函数的图象可得当时，,函数单调递增； 当时，,函数单调递减； 当时，,函数单调递增. 只有C选项的图象符合. 故选:C. 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，单调递增，则在上增的越来越快， 当时，单调递减，则在上增的越来越慢， 当时，单调递减，则在上减的越来越快， 当时，单调递增，则在上减的越来越慢， 只有A选项符合. 故选：A. 变式1．（2023·全国·高三专