3.2函数与方程、不等式之间的关系教案-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

函数与方程、不等式之间的关系 【第1课时】 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 【教学目标】 【核心素养】 1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．（难点） 2．会求函数的零点．（重点） 3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．（重点、难点） 1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养． 2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养． 3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养． 【教学过程】 一、新知初探 1．函数的零点 （1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点． （2）三者之间的关系： 函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根． 2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 （1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点． （2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合． 3．图像法解一元二次不等式的步骤 （1）解一元二次不等式对应的一元二次方程； （2）求出其对应的二次函数的零点； （3）画出二次函数的图像； （4）结合图像写出一元二次不等式的解集． 二、初试身手 1．函数y＝1＋的零点是（ ） A．（－1，0） B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝0 答案：B 解析：令1＋＝0解得x＝－1， 故选B． 2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一个根所在的区间是（ ） x －1 0 1 2 3 ex 0．37 1 2．72 7．40 20．12 x＋2 1 2 3 4 5 A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 答案：C 解析：令f（x）＝ex－（x＋2），则f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程ex－（x＋2）＝0的一个根在（1，2）内． 3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是（ ） A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2 C．m≠±2 D．1＜m＜3 答案：A 解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值， ∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2． 4．不等式≥0的解集为________． 答案：[－1，1） 解析：原不等式等价于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1． 三、合作探究 类型1：函数的零点及求法 例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点． 解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0， ∴（x3－x）－（6x－6）＝0， ∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0， 解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3， ∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3． 规律方法 求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 跟踪训练 1．如图所示是一个二次函数y＝f（x）的图像． （1）写出这个二次函数的零点； （2）试比较f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）与0的大小关系． 解：（1）由图像可知，函数f（x）的两个零点分别是－3，1． （2）根据图像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0． 类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 例2：利用函数求下列不等式的解集： （1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0； （3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）． 解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6． 结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）． （2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0． 方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3． 结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知， 原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）． （3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2， 即9x2－12x＋4＞0． 解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝． 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知， 原不等式的解集为∪． 规律方法 利用函