2.3质数和合数（同步重难点讲义）-2022-2023学年五年级数学下册学霸课堂笔记（人教版）

人教版数学五年级下册 第二单元 因数与倍数 第3课时-质数和合数 1. 自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0 四类。 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。 合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。 ①只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 ②最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是 2、3。 ③每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。 100 以内找质数、合数的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。 关系：奇数×奇数=奇数；质数×质数=合数。 2. 最大、最小 A 的最小因数是：1；A 的最大因数是：A；A 的最小倍数是：A；最小的自然数是：0；最小的奇数是：1；最小的偶数是：0；最小的质数是：2；最小的合数是：4； 3. 分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。 4. 互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 两个质数的互质数：5 和 7；两个合数的互质数：8 和 9；一质一合的互质数：7 和 8。 两数互质的特殊情况： ①1和任何自然数互质；②相邻两个自然数互质；③两个质数一定互质；④2和所有奇数互质；⑤质数与比它小的合数互质。 5. 公因数、最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。 用短除法求两个数或三个数的最大公因数（除到互质为止，把所有的除数连乘起来） ，几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。 如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。 6. 公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。 用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来），用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）。 如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。 7. 求最大公因数和最小公倍数方法（用 12 和 16 来举例） ①求法一：（列举求同法） 最大公因数的求法：12 的因数有：1、12、2、6、3、4；16 的因数有：1、16、2、8、4。最大公因数是 4。 最小公倍数的求法：12 的倍数有：12、24、36、48、… 16 的倍数有：16、32、48、… 最小公倍数是 48。 ②求法二：（分解质因数法） 12=2×2×3；16=2×2×2×2，最大公因数是：2×2=4（相同乘），最小公倍数是：2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）。 【例1】两个质数的乘积是91，这两个质数分别是多少？ 【分析】因为两个质数的乘积是91，把91分解质因数即可解决此题． 【解答】解：因为91＝7×13， 所以这两个质数分别是7、13． 答：这两个质数分别是7和13． 【点评】此题考查根据两个质数的和与积，推算两个质数是多少，只要把乘积分解质因数即可解决问题． 【例2】请你把1至10十个自然数进行分类，并说明你是按怎样的标准来分类的． 【分析】（1）根据偶数、奇数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数； （2）根据因数个数的多少，自然数可以分为质数、合数和1，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有别的因数的数是合数，1既不是质数也不是合数；据此解答。 【解答】解：在1～10这10个数中， （1）奇数有：1、3、5、7、9； 偶数有：2、4、6、8、10； （2）1既不是质数也不是合数； 质数有：2、3、5、7； 合数有：4、6、8、9、10； 故答案为：（1）奇数有：1、3、5、7、9； 偶数有：2、4、6、8、10； （2）1既不是质数也不是合数； 质数有：2、3、5、7； 合数有：4、6、8、9、10。 【点评】此题考查的目的是理解掌握偶数与奇数、质数与合数的意义。 【例3】你知道吗？数学中把相差2的两个质数叫“孪生质数”，请你写出三对孪生质数。 【分析】根据“孪生质数”的定义，找出相邻并且相差2的质数进行书写即可。 【解答】解：根据“孪生质数”的定义可以写出如下： 3和5，5和7，11和13（答案不唯一） 【点评】此题的关键是掌握什么是质数，然后找出相邻并且相差2的质数。 【例4】在右面的6个〇内填入不同的质数．使〇+〇的和都等于30以内的同一个偶数，并把这个偶数填在中间的□里． 【分析】小于30的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，在这些质数中5+19＝24，7+17＝24，11+