5.2 导数的运算 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

5.2 导数的运算 课程标准 课标解读 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 3.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 4.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 5.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则. 6.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)． 通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题.要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题.要求会求简单的复合函数的导数，并能解决与之相关的切线、切点、斜率、待定参数相关的问题. 知识点1 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 1 （常数的导数为0） 2 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 （熟记） 3 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x 4 f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x 5 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝axln a 6 f(x)＝ex f′(x)＝ex 7 f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝ 8 f(x)＝ln x f′(x)＝ 注：①对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝. ②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式． ③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝′＝(lnx)′＝. 【即学即练1】【多选】下列选项正确的是(　　) A．y＝ln 2，则y′＝ B．y＝，则y′|x＝3＝－ C．y＝2x，则y′＝2xln 2 D．y＝log2x，则y′＝ 【即学即练2】求下列函数的导数： (1)y＝x0(x≠0)； (2)y＝x； (3)y＝lg x； (4)y＝； (5)y＝2cos2－1. 【即学即练3】求下列函数的导数： (1)y＝2 021； (2)y＝； (3)y＝4x； (4)y＝log3x. 【即学即练4】已知函数的导数为，则等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【即学即练5】已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（ ） A．4 B．－4 C．5 D．－5 【即学即练6】与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________． 【即学即练7】已知直线与曲线相切，则的最大值为___________. 知识点2 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数， F(x)＝f(x)＋g(x) 则＝ ＝＋， ∴ ＝ ＋ ＝f ′(x)＋g′(x)， 注： 函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)． 即：′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导） 证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)， ＝ ＝ ＝＋， ∴ ＝g(x)·f ′(x)＋f(x)·g′(x)． 注： (3)＝(g(x)≠0)． （分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方） 注： 【即学即练8】求下列函数的导数： (1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝lg x－ex. (3)f(x)＝x2＋sin x； (4)g(x)＝x3－x2－6x＋2. (5)y＝x2＋xln x； (6)y＝； (7)y＝； (8)y＝(2x2－1)(3x＋1)． 【即学即练9】求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝x2＋tan x； (3)y＝. 【即学即练10】求下列函数的导数： (1)y＝ln x＋； (2)y＝； (3)f(x)＝(x2＋9)； (4)f(x)＝. 【即学即练11】已知函数，则等于（ ） A． B． C． D． 知识点3 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作． 注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函