5.1 导数的概念及其意义 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1 导数的概念及其几何意义 课程标准 课标解读 1． 初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义. 2． 会求函数的平均变率与瞬时变化率.并能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值. 3． 了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 4． 会求简单函数的导函数. 5． 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率，要求会求简单函数的导函数，理解导数几何意义，会求某点处的切线方程. 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 【即学即练1】已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为(　　) A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29 【即学即练2】某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 【即学即练3】函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________. 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 【即学即练4】物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝ ＝18 m/s，则下列说法中正确的是(　　) A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度 B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度 C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度 D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度 【即学即练5】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示， （1）求物体在t＝1 s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 【即学即练6】一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 【即学即练7】 【多选】若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　) A．与x0有关 B．与h有关 C．与x0无关 D．与h无关 【即学即练8】 求函数y＝x－在x＝1处的导数． 【即学即练9】f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 【即学即练10】已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．±2 【即学即练11】若函数f(x)可导，则 等于(　　) A．－2f′(1) B.f′(1) C．－f′(1) D．f′ 【即学即练12】设在处可导，则（ ）． A． B． C． D． 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的