第三章圆锥曲线的方程单元检测-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程单元检测 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，若，则（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）． A． B． C． D． 3．在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．2 5．若抛物线：的焦点坐标为，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．设抛物线的焦点为，上一点，满足直线与轴正半轴交于点，且在，之间，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 7．若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是（    ） A．抛物线的焦点为 B． C．抛物线的准线为 D． 8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积、已知椭圆：的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆交于两点，若的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 9．若椭圆上一点与左右焦点，组成一个直角三角形，则点到轴的距离可以是（    ） A． B． C． D． 10．若方程表示的曲线为，则下列说法中不正确的有（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．若为椭圆，且焦点在轴上，则 D．若为双曲线，则其渐近线方程为 11．过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别做抛物线C准线的垂线，垂足为，线段的中点为M，线段的中点为N，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与y轴相切 D．以为直径的圆与y轴相切 12．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆分别为左、右顶点，分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（    ） A． B． C．轴 D．四边形的内切圆过左右两个焦点 三、填空题 13．若椭圆的离心率为，短半轴长为，则该椭圆的长半轴长为______． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，的延长线交双曲线于点，若双曲线的离心率，则_________. 15．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则__________. 16．设抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且，直线过点与抛物线交于两点，为坐标原点，则___________． 四、解答题 17．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 18．己知椭圆C的两个焦点分别为和，点在椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)过点作倾斜角为的直线l交椭圆C于A、B两点，求线段的长度． 19．已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，动点M满足|| MF₁ | -| MF₂|| =4. (1)求动点M的轨迹C的方程： (2)已知点A(-2，0)，B(2，0)，当点M与A，B不重合时，设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，证明:为定值. 20．已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点). (1)求双曲线C1的标准方程； (2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积. 21．已知抛物线上的点到焦点的距离为4． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标． 22．已知动点P到直线的距离是P到点距离的2倍，点P的轨迹记为C． (1)证明：存在点，使得为定值． (2)过点F且斜率的直线l与C交于A，B两点，M，N为x轴上的两个动点，且，，若，求k． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．BC 10．AC 11．AC 12．BD 13． 14． 15． 16． 17．（1）设C的焦距为，长轴长为， 则， 所以，所以， 所以C的方程为． （2）设， 代入椭圆方程得 两式相减可得， 即． 由点为线段的中点， 得， 则l的斜率， 所以l的方程为， 即． 18．（1）设椭圆C的方程为， 则，解得， 故椭圆C的方程为； （2）过点作倾斜角为的直线l的方程为，设 联立，消去得