6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量（题型专训）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量 一、单选题 1．已知一直线经过点A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点坐标得向量，结合方向向量的定义以及向量共线即可求解. 【解析】由题知，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量．D选项中的向量与线，所以是直线的方向向量． 故选：D． 2．若，分别为直线，的一个方向向量，则（    ）． A． B．与相交，但不垂直 C． D．不能确定 【答案】C 【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可求解. 【解析】由，，得 ， 所以，即. 故选：C. 3．已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，然后根据向量共线确定正确选项. 【解析】由题知，，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量. A选项中的向量与不共线，所以不是直线的方向向量. 故选：A 4．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（    ） A． B． C．2 D．16 【答案】A 【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解. 【解析】由条件可知，，得. 故选：A 5．已知平面内有两点，若平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C．-24 D．24 【答案】C 【分析】根据，即可列出等量关系，求得结果. 【解析】由题可得，因为平面的一个法向量为，所以， 所以，解得． 故选：C． 6．已知，则平面ABC的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出平面ABC的一个法向量，进而得出单位法向量． 【解析】因为 所以， 令平面ABC的一个法向量为 可得，即，令，则，所以 故平面ABC的单位法向量是，即或． 故选：B． 7．在空间直角坐标系中，平面过点，它的一个法向量为．设点为平面内不同于的任意一点，则点的坐标满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程即可. 【解析】因为，，所以， 由已知，， 所以，所以， 故选：C. 8．已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（    ） A．与不是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】C 【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D. 【解析】对于A，，，由于， 所以与不是共线向量，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，，， ，故C错误； 对于D，，，设平面的法向量， 则，取，得，故D正确， 故选：C. 9．已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据入射角等于反射角的性质作图即得． 【解析】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中，则向量时，向量.故选B. 【点睛】本题考查平面向量的线性表示以及光线反射问题，是常考题型． 10．以下四组向量：①，；②，；③，；④，.其中，分别为直线，的方向向量，则它们互相平行的是（    ） A．②③ B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由向量的坐标表示和向量共线定理，逐一判断即可得结果. 【解析】①∵，∴ .②∵，∴. ③∵，∴. ④∵，∴. 故选：D 【点睛】本题考查向量的坐标表示和向量共线定理，考查了运算求解能力，属于基础题目. 11．下列四个命题中，正确命题的个数是（    ） ①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得； ②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m； ③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面； ④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法向量的定义判断. 【解析】①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，由空间向量基本定理知，正确； ②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m，由方向向量的定义知，正确； ③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确； ④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．由法向量的定义知，正确. 故选：D 12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别