2023年中考数学高频考点突破——证明圆的切线

2023年中考数学高频考点突破——证明圆的切线 1.如图,在平面直角坐标系中,点P为y轴上一点,⊙P交y轴于点A,点B,交x轴的正半轴于点C,AD平分∠BAC交⊙P于点D,过点D作EF⊥AC于点E,交y轴于点F. (1)求证:EF为⊙P的切线; (2)若A(0,−1),C(,0),求图中阴影部分的面积. 2.如图,△ABC内接于,AB是的直径,BD与相切于点B,BD交AC的延长线于点D,E为BD的中点,连接CE. (1)求证:CE是的切线. (2)若AC=2,cos∠ADB = ,求CE的长. 3.如图,是的直径,点在的延长线上,点在上,,. (1)求证:是的切线; (2)若的半径为5,求点到所在直线的距离. 4.如图,为⊙外一点,,为⊙上两点,,垂足为,交⊙于点,交于,. (1)求证:为⊙的切线; (2)若,,求的长. 5.如图,AB是⊙O的弦,C为⊙O上一点,过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D,连接BO并延长,与⊙O交于点E,连接EC,∠ABE=2∠E. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若⊙O的直径为8,BD=1,求AB的长. 6.如图,是的外接圆,,为的直径交于点,交的延长线于点. (1)求证:是的切线; (2)若,,求线段的长. 7.如图,BC是⊙O的直径,BD平分∠ABC交⊙O于点D,DA⊥BA于点A,AB交⊙O于点E. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若AD=6,AE=3,求的值. 8.如图,是的中线,以为直径作,交于点E,过点A作,交的延长线于点P,若. (1)求证:是的切线; (2)若,求的半径. 9.如图,AB是⊙O的弦,点C是的中点,连接BC,过点A作交⊙O于点D.连接CD,延长DA至E,连接CE,使. (1)求证:CE是⊙O的切线; (2)若,,求AD的长. 10.如图,AB是的弦,AC经过圆心O交于点D,. (1)求证:BC是的切线; (2)设的半径为2,求图中阴影部分的面积. 11.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点A,在l上取一点D使得DA=DC,线段DC,AB的延长线交于点E. (1)求证:直线DC是⊙O的切线; (2)若BC=4,∠CAB=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留π). 12.已知:如图,AB是的直径,点E为上一点,点D是上一点,连接AE并延长至点C,使∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F. (1)求证:BC是的切线; (2)若BD平分∠ABE,求证:. 13.如图,为的内接三角形,为的直径,点D为上一点,且,过点D作交的延长线于点E. (1)求证:为的切线; (2)若,求的半径. 14.图,在中,AB=AC,⊙O是的外接圆,点D在⊙O上且∠BCD=∠ACB,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF. (1)求证:AF是⊙O的切线; (2)若点G是的内心,,求BG的长. 15.如图,直线与相离,过点作于点,交于点,延长交于点.点、在直线上,连接并延长交于点,连接,. (1)求证:是的切线; (2)若,,,求的半径和弦的长. 16.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D.过D点作DE⊥AC,交AC于点E,交AB的延长线于点F, (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若FD=4,AC=6,求BF的长. 17.如图,在中,,以AB为直径的交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,BD. (1)求证:DE是的切线; (2)若,,求BD的长. 18.如图,为的直径,于点,连接,弦,连接,连接交于点. (1)求证:是的切线; (2)请连接并延长交于点,若,,求的长. 19.如图,在中,,以为直径的圆交、与点和点,且为的中点,过点作与点, (1)求证:是的切线; (2)求的值. 20.如图,、为的直径,,点为上一点,点为延长线上一点,.连接,交于点. (1)证明:为的切线; (2)证明:; (3)若的半径为2,为的中点,的长. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.(1)见解析 (2)2-. 【分析】(1)连接PD,证明EF⊥AC,推出PD⊥EF,即可证明EF为⊙P的切线; (2)利用垂径定理求得⊙P的半径,利用三角函数求得∠CPO=60°,再根据阴影部分的面积=S△PDF-S扇形PBD,利用扇形和三角形的面积公式即可求解. (1) 证明:连接PD, ∵PD=PA,∴∠PDA=∠PAD, ∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠PAD, ∴∠PDA=∠EAD, ∴PD∥AE, ∵EF⊥AC, ∴PD⊥EF, ∵PD为⊙P的半径, ∴EF为⊙P的切线; (2) 解:连接PC,设PC=x,则PA=x, ∵A(0,−1),C(,0),∴OA=1,