5.5.2 简单的三角恒等变换-【数学一起课件】高中数学必修第一册同步PPT课件（人教A版2019）

简单的三角恒等变换 授课老师：XXX 第五章 三角函数 学习目标 能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式. 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 核心素养 数学抽象 公式的应用. 逻辑推理 半角公式的推导. 数学运算 利用三角恒等变换求值，求角，化简. 知识回顾 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 两角差的正弦公式 两角和的正弦公式 两角差的正切公式 两角和的正切公式 知识回顾 名称 简记符号 公式 使用条件 二倍角的 正弦公式 二倍角的 余弦公式 二倍角的 正切公式 倍角公式： 01 半角公式 问题探究 例7 试以表示，，. 分析： 与 有什么关系？ 是 的二倍角. 因此可以考虑用倍角公式来解答. 问题探究 解： 是 的二倍角. 在倍角公式 中，以代替，以 代替 ，得 所以 ① 在倍角公式 中，以代替，以 代替 ，得 所以 ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得 问题探究 问题1 是 的二倍角，即 是 的半角，那如何得到半角公式？ ， ， 半角公式： 符号由 所在象限决定. 问题探究 例8 求证： 分析： 这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？ 式子（1）左边是两个角正弦与余弦的积，右边是两角和与两角差正弦和的一半. 式子（2）左边是两个角正弦的和，右边是两角和的一半的正弦与两角差的一半的余弦的积的2倍. （1）； （2）. 问题探究 证明： 1）因为 将以上两式的左右两边分别相加，得 即 2）由（1）可得 ① 设 ， 那么 ，. 将的值代入①，即得 . 问题探究 问题2 如果不用（1）的结果，如何证明？ 证明： 因为 ，， 所以 问题探究 由此可得到： 1、积化和差公式 ； ； ； . 证法与式子（1）类似 问题探究 2、和差化积公式 ； ； ； . 证法与式子（2）类似 解题方法 三角恒等式证明的常用方法： 1 2 3 4 从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简，其依据是相等关系的传递性； 左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等； 综合法：即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想； 比较法：即设法证明“左边右边”或“”. 02 三角恒等式的应用 问题探究 例9 把下列各式化成 的形式. （1）；（2）；（3）. 解： （1）原式 （2）原式 （3）原式 问题探究 问题3 如何将转化成的形式呢？ ∵ ， 从而可令 ， 则有 问题探究 问题3 如何将转化成的形式呢？ 因此，可以得出如下结论： 其中 . 问题探究 可以将其写成余弦的差角形式： 其中 . 类似地，是否可以将其写成余弦的形式呢？ 追问 01 辅助角公式 由此，可以得到辅助角公式： .（其中） .（其中） 例题解析 例10 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）； （2）. 分析： 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是，利用和角公式将其展开，可化为的形式. 反之，利用和（差）角公式，可将转化为的形式，进而就可以求得其周期和最值. 其中 . 例题解析 例10 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）； （2）. 解： （1） 因此，所求周期为，最大值为，最小值为. 例题解析 例10 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）； （2）. 解： （2）设 ，则 于是 ， 于是 所以 取 ，则，. 由可知，所求周期为，最大值为，最小值为. 例题解析 例11 如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形. 记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积. 例题解析 分析： 要求当角取何值时，矩形的面积最大，那我们需要找出与之间的函数关系，再求函数的最值. 也就是说，可先建立矩形的面积与之间的函数关系，再求函数的最大值. 例题解析 解： 在中，，. 在中，. 所以 设矩形的面积为，则 例题解析 由，得 所以当 ，即 时， 因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为 . 03 小结与随堂练习 课堂小结 半角公式： ， ， 课堂小结 辅助角公式： .（其中） .（其中） 随堂练习 1、， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【解析】 ∵ ，∴ ∵ ， ∴ . 随堂练习 2、下列各式与 相等的是（ ） 【解析】 A. B. C. D. 随堂练习 3、已知，则 等于（ ） 【解析】 由， ， A. B.