1.3 直角三角形-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

1.3 直角三角形 知识点一 直角三角形的性质 直角三角形的性质：直角三角形两个内角互余． 知识点二 直角三角形的判定 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 知识点三 基本事实“斜边、直角边”（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”. 题型一 直角三角形的性质 【例题1】如图，在△ABC中，AB⊥AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D，若∠B＝36°，则∠DAC的度数为（　　） A．36° B．46° C．54° D．64° 解题技巧提炼 掌握直角三角形的性质并正确的识别图形是解题的关键． 【变式1-1】如图，将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当∠DEB＝m°，则∠AOC＝（　　） A．30° B．（m﹣15）° C．（m+15）° D．m° 【变式1-2】如图，在中，与相交于点F，且，则之间的数量关系是_____________． 【变式1-3】如图，在等腰直角中，，点为上一点，连接，以为直角顶点做等腰直角，连接交于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝152°，求∠EDF． 【变式1-5】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF． 求证：AE平分∠CAB． 题型二 直角三角形的判定 【例题2】在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解题技巧提炼 根据题中已知总结规律，根据规律解决问题。 【变式2-1】中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-3】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足．下列判断错误的是（ ） A．∠A=∠B B．∠A=∠BCD C．AC>AD D．BC>CD 【变式2-4】如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证：△ACE是直角三角形． 【变式2-5】如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB＝∠CED．求证△ACE是直角三角形． 题型三 HL判定三角形全等的条件 【例题3】结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式： 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°， AC＝DF 　 　 ∴Rt△ABC≌Rt△DEF． 解题技巧提炼 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC，ED⊥AB，则ED的长（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式3-3】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是　 　．（不添加字母和辅助线） 【变式3-4】如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-5】下列说法正确的有（　　） ①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等； ②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等； ③两边分别相等的两个直角三角形全等； ④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等． A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 直角三角形全等的判定与性质（求角的度数） 【例题4】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F