9.2.3 向量的数量积（课件）高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

苏教版（2019） 必修第二册 9.2.3 向量的数量积 第9章 平面向量 学习目标 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2023/8/8 2 情境导入 前面我们学习了向量的线性运算：加法、减法和数乘，它们运算的结果还是一个向量。 先看一个物理学中的问题：一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为多少？ 如果把功W看成两个向量与的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的长度有关，而且还与这两个向量的夹角有关.这是一种新的运算。 思考：那么，向量与向量能否“相乘”呢？ 我们知道，如果力F与物体位移s的夹角为，那么F所做的功W应为 2023/8/8 3 探究新知 核心知识点一： 向量的数量积 可见，前面提到的力所做的功W，就是力F与在其作用下物体产生的位移s的数量积· 。 数量积亦称为‘内积”或“点积” 不是零向量，而是零向量。 已知两个非零向量和,它们的夹角是,我们把数量叫作向量和的数量积,记作 ・ ,即 ・ =。 我们规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2023/8/8 4 探究新知 根据向量数量积定义，如果非零向量和相互垂直，那么和的夹角为90°，即90°，则。 根据向量数量积的定义： ・ =，我们可以求得两个非零向量的夹角。 即:. 所以 所以我们可以得到： 2023/8/8 5 探究新知 根据向量数量积定义，, 所以或者 此时与为同一向量，所以，因为, 2023/8/8 6 重点探究 例1:已知向量与的夹角为，||=4，| |=6，分别在 下列条件下求· ： （1）； （2） // ; （3） ⊥ . 2023/8/8 7 重点探究 解析:（1） · = （2）当// 时，=0°或者=180°， 当=0°时， · = =24； 当=180°时， · = =-24 （3） ⊥ 时，· =0. 2023/8/8 8 探究新知 核心知识点二： 摄影向量 设， 是两个非零向量，如图，表示向量，表示向量，过点A作所在直线的垂线，垂足为点；我们将上述由向量得到向量的变换称为向量向向量投影，向量称为向量在向量上的投影向量。 2023/8/8 9 探究新知 核心知识点二： 摄影向量 可以看到，通过投影，由向量得到了与向量共线和垂直的两个向量和，三个向量，和构成一个直角三角形. 设向量， 的夹角为，由图可知： 当为锐角时，； 为向量方向上的单位向量 2023/8/8 10 探究新知 当为钝角时，； 通过验证，当时，均成立。 综上，对于向量， ，向量在向量上的投影向量为 2023/8/8 11 探究新知 因为 所以 因此，向量和的数量积就是向量在向量上的投影向量与向量的数量积. 2023/8/8 12 探究新知 根据向量数量积的定义，可知： 核心知识点三： 向量数量积的运算律 ˙ = ˙ = 所以˙ = ˙ 同理，根据向量数量积的定义，可知： （λ ）˙ =； ˙（λ ）=； λ（ ˙ ）=；λ ˙ =； 所以（λ ）˙ = ˙（λ ）=λ（ ˙ ）=λ ˙ 2023/8/8 13 探究新知 任取一点O，作,则; 设于，于，则向量， ， + 在向量上的投影向量分别为，，。当点O，，，C按从左到右的顺序排列时，有： = 即： 对O，，C排列顺序，上式也成立。 2023/8/8 14 探究新知 设向量，，和实数λ，向量的数量积满足下列运算律： （1）·=·； （2）（λ）˙=˙（λ）=λ（·）=λ·； （3）(＋)˙=˙＋˙. 2023/8/8 15 重点探究 例2：已知，， (1)求； (2)求与的夹角； 【解析】（1）,。 （2）由（1）知：，。 2023/8/8 16 重点探究 【总结】 1.求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件。 2.求解向量模的问题就是要灵活应用，即，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出·的值及||，||的值，然后代入求解，也可以寻找||，||，·三者之间的关系，然后代入求解. 2023/8/8 17 随堂练习 A 18 随堂练习 A 19 随堂练习 A 20 随堂练习 A 21 随堂练习 D 22 随堂练习 D 23 随堂练习 24 随堂练习 25 随堂练习 26 随堂练习 27 随堂练习 28 随堂练习 29 课堂小结 1.向量数量积的定义. 2.向量数量积的性质. 3.投影向量. 4.向量数量积的运算律. 5.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律；向量夹角