广东省东莞市东莞中学2021-2022学年高一下学期数学周练5

2021-2022 下学期东莞中学高一数学周练 (第 5 周 2022.3.19) 一、单项选择题:每小题 5 分,共 20 分. 1．设△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.若 bcos C＋ccos B＝asin A，则 △ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 2.在△ABC中，若 sin C＝2sin Bcos B，且 B∈ π 6 ， π 4 ，则c b 的范围为( ) A.( 2， 3) B.( 3，2) C.(0，2) D.( 2，2) 3．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知(2b－c)cos A＝a·cos C，则 A等于( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 4. 已知向量OB→＝(2,0)，|CA→ |＝ 2，OC→＝(2,2)，则OA→与OB→夹角的最小值和最大值依次是( ) A．0，π 4 B.π 4 ， 5π 12 C. π 12 ， 5π 12 D．0，π 2 二、多项选择题:每小题 5 分,共 10 分. 5.下列结论正确的是( ) A．在△ABC中，若 A>B，则 sin A>sin B B．在锐角三角形 ABC中，不等式 b2＋c2－a2>0恒成立 C．在△ABC中，若 C＝π 4 ，a2－c2＝bc，则△ABC为等腰直角三角形 D．在△ABC中，若 b＝3，A＝60°，三角形面积 S＝3 3，则三角形外接圆半径为 3 3 6.在△ABC中，AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，在下列命题中，是真命题的为( ) A．若 a·b>0，则△ABC为锐角三角形 B．若 a·b＝0，则△ABC为直角三角形 C．若 a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形 D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形 三、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 7. 在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，则 b= . 19 8.在△ABC中， a＝5，b＝5 3，A＝30°，则 B＝________. 9.在△ABC中，B＝π 4 ，BC边上的高 AD＝1 3 BC，且 AD＝1，则 AC＝________， sin A＝________. 10. 已知非零向量 a，b 满足|a－b|＝ 3|a＋b|＝ 3|a|，则 a 与 b 的夹角= . 四、解答题:共 50 分. 11.（10 分）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且 a，b是方程 x2－2 3x＋2＝0的两根， 2cos(A＋B)＝1， (1)求角 C的度数； (2)求 AB的长. 周 12 （10 分）在△ABC中，若 sin A＝2sin Bcos C，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC 的形状. 13. （10 分）在△ABC中，已知 a＝10，B＝75°，C＝60°，试求 c及△ABC的外接圆 半径 R. 14. （10 分）在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(cos(A－B)，sin(A－B))， n＝(cos B，－sin B)，且 m·n＝－3 5 . (1)求 sin A的值；(2)若 a＝4 2，b＝5，求 c，角 B的大小． 15.（10 分）如图，在△ABC中，已知 AB＝4，AC＝6，点 E为 AB的中点，点 D，F分别在边 BC，AC上，且AC→＝6AF→，BC→＝3BD→，EF交 AD于点 P. (1)若∠BAC＝π 3 ，求AD→与EF→夹角θ的余弦值； (2)求AP AD 的值． 2021-2022 下学期东莞中学高一数学周练 (第 5 周 2022.3.19) 1．B解析 bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理，得 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，即 sin(B＋C)＝sin Asin A，解得 sin A＝1，A∈(0，π)， 故 A＝π 2 ，故△ABC为直角三角形.故选 B. 2.A解析 由正弦定理得c b ＝ sin C sin B ＝ 2sin Bcos B sin B ＝2cos B. 又 π 6 ＜B＜π 4 ，余弦函数在此范围内是减函数，故 2 2 ＜cos B＜ 3 2 ，∴ c b ∈( 2， 3). 3．B解析 因为在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，(2b－c)cos A＝a·cos C，所以由正弦定理得 (2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C， 所以 2sin Bcos A＝sin A·cos C＋sin C·cos A＝sin (A＋C)＝sin B， 因为 0<B<π，所以 cos A＝1 2 ，又 0<A<π，所以 A＝π 3 .