6.2.2 空间向量的坐标表示（题型专训）-高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）

6.2.2 空间向量的坐标表示 一、单选题 1．向量，，若，则（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意，设，即，即可求得、的值 【解析】因为向量，，且， 则设，即， 则有，则，，解得，， 故选：C 2．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先利用空间向量的数量积及模长的坐标表示求出，再利用空间向量的数量积的运算律进行求解. 【解析】因为，， 所以，，， 因为与互相垂直， 所以， 即， 即， 解得. 故选：A. 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】由已知条件，先求出，从而即可求解. 【解析】解：因为，所以， 所以与向量同向共线的单位向量， 故选：C. 4．如图，平行六面体中，为的中点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值. 【解析】，故，，，即 故选：. 5．如图，在直三棱柱中，，，分别是棱、和AB的中点，点D是线段AC上的动点不包括端点若，则线段AD的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出向量，利用求得点坐标，再求线段AD的长度即可． 【解析】在直三棱柱中，，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，，，，， 由于，所以，解得，所以线段AD的长度为. 故选：A 6．设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标. 【解析】由题意知：； 设向量在基底下的坐标为， 则， 即，，解得：， 向量在基底下的坐标为. 故选：C. 7．设向量，，其中，则下列判断错误的是 A．向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关） B．的最大值为 C．与夹角的最大值为 D．的最大值为l 【答案】B 【分析】在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确． 【解析】解：由向量，，其中，知： 在A中，设z轴正方向的方向向量， 向量与z轴正方向的夹角的余弦值： ， ∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确； 在B中，， 且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误； 在C中，由B可得：， ， ∴与的夹角的最大值为，故C正确； 在D中，， ∴ad−bc的最大值为1．故D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题． 8．设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得.联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可. 【解析】空间两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，， ， 又，， 又为单位向量，， 联立，得或， ，， . 故选：C. 9．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为. 【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点. 可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以, 又点F距平面的距离为1，所以, 的最小值为. 故选：D 10．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出 【解析】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心， 所以， 因为D是PG上的一点，且， 所以， 因为， 所以 , 因为， 所以， 所以为， 故选：B 11．已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出的范围． 【解析】解：如图建立坐标系， 设，， 则，，， ，， ， ， 即，所以， 当时，所以，所以． 故选：C．