2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与特殊的三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与特殊的三角形 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，点B，与y轴负半轴交于点C，且OC＝OB，其中B点坐标为（3，0），对称轴为直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上方有一点P（m，n），连接PA后满足∠PAB＝∠CAB，记△PBC面积为S，求S与m的函数关系； （3）在（2）的条件下，当点P恰好落在抛物上时，将直线BC上下平移，平移后的直线y＝x+t与抛物线交于C'，B'两点（C'在B'的左侧），若以点C'、B'、P为顶点三角形是直角三角形，求t的值． 2．如图所示，已知抛物线经过点三点，点与点关于轴对称，点是线段上的一个动点，设点的坐标为过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）在点运动过程中，是否存在点，使得是直角三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接，将绕平面内某点顺时针旋转，得到，点的对应点分别是点．若的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为"和谐点"，请直接写出"和谐点"的个数和点的横坐标． 3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G （1）求抛物线和直线AC的解析式； （2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标； （3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线L：与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，已知点B（3，0），抛物线的对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向下平移h个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC内部（包含△OBC边界），求h的取值范围； （3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线的图像与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点，点为抛物线的顶点，且． （1）点为直线上方抛物线上一点，求四边形的面积的最大值；点、分别为射线、上的动点，当四边形面积取得最大值时，求当线段的值为最小值时点的坐标． （2）把绕点旋转一定角度后得到，且点恰好在线段上，抛物线上的点与点关于抛物线对称轴对称，作，把沿直线平移后得到，在变换过程中是否存在为等腰三角形，若存在，直接写出此时的坐标；若不存在，说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． （1）点P是线段BC下方的抛物线上一点，过点P作PD⊥BC交BC于点D，过点P作EP∥y轴交BC于点E．点MN是直线BC上两个动点且MN＝AO（xM＜xN）．当DE长度最大时，求PM+MN﹣BN的最小值． （2）将点A向左移动3个单位得点G，△GOC延直线BC平移运动得到三角形△G'O′C'（两三角形可重合），则在平面内是否存在点G'，使得△G′BC为等腰三角形，若存在，直接写出满足条件的所有点G′的坐标，若不存在请说明理由． 7．如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P. (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求证：BF⊥AB． (3)当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为______； (4)探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长. 8．已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣1），连接AC，AO＝2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜﹣1． （1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）若D（﹣4，m）为抛物线y＝x2+bx+c上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t的值． （3）如图2，若E（﹣4，m）为上述抛物线上一点，在抛物线上是否存在点F，使得△BEF是直角三角形，若存在求出点F的坐标，若不存在说明理由． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F(异于点C)，直线CD交x轴交于点G． (1)如图1，求直线CE的解析式和顶点D的