9.2.3 向量的数量积-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）

9.2.3向量的数量积 【考点梳理】 考点一　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.＝a， 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 考点二　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 考点三　投影向量 在平面内任取一点O，作就是向量a在向量b上的投影向量. ＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则＝a， 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θ e. 与e，a，θ之间的关系为 考点四　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 考点五　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数量积的定义和几何意义 1．（2022·高一课）已知 ，，向量 在 方向上投影向量是 ，则 为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 2．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知向量 ， 在 方向上的投影向量为 ，则 （    ） A．4 B．8 C． D． 3．（2022春·湖南衡阳·高一统考期末）若 ， ， 和 的夹角为 ，则 在 的方向上的投影向量的模长为（    ） A． B． C．2 D．4 题型二：数量积的运算 4．（2023·高一）下列式子中，正确的是（    ） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D． 5．（2022·高一）已知平面向量 均为非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．若 ，则 B． C．若 ，则 D．若 ，则 6．（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）如图，矩形 内放置5个边长均为1的小正方形，其中 ， ， ， 在矩形的边上，且 为 的中点，则 （    ） A． B． C．5 D．7 题型三：数量积和模关系问题 7．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）已知 ， ， ，则 （     ） A． B．2 C． D．4 8．（2022春·云南保山·高一统考期末）向量 ， 的夹角为120°，且 ， ，则 等于（    ） A．2 B． C． D． 9．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）已知向量 ， 满足 ， ，则向量 ， 的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型四：向量夹角的计算 10．（2022春·陕西渭南·高一校考期末）已知 ， ， ，则 与 的夹角是（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 11．（2022春·广西·高一校考期中）已知平面向量 ， 满足 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 12．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则向量 与 的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型五：垂直关系的向量表示 13．（2022春·陕西商洛·高一统考期末）已知向量 满足 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 14．（2022春·北京·高一北京二中校考阶段练习）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（    ） A． B． C． D． 15．（2022春·陕西榆林·高一榆林市第一中学校考期中）已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 题型六：已知模求参数或数量积问题 16．（2022春·贵州黔西·高一统考期末）已知向量 是非零向量，λ、 ，则“ ”是“ ”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2022春·全国·高一期末）已知 ，点 在线段 上，且 的最小值为 ，则 （ ）的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 18．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）已知向量 满足： ，若 ， 的最大值和最小值分别为 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 题型七：数量积的综合问题 19．（2023·高一单元测试）已知 ， ， 与 的夹角为 ．求： (1) ；(2) ；(3) ． 20．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中