9.2.2 向量的数乘-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）

9.2.2向量的数乘 【考点梳理】 考点一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 考点二　向量数乘的运算律 1 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 考点三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【题型归纳】 题型一：向量数乘的运算 1．（2022春·陕西咸阳·高一校考期末）若AD是△ABC的中线，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2022·高一）计算： (1)； (2). 3．（2022·高一）化简： (1)；(2)； (3)；(4). 题型二：平面向量的混合运算 4．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，在△ABC中，D为AB的中点，则＝（　　） A． B． C． D． 5．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）已知D为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高一专题练习）化简 （1）； （2） 题型三：向量的线性运算的几何应用 7．（2022春·四川甘孜·高一统考期末）在中，若分别为的中点，则（    ） A．​ B．​ C． D． 8．（2022春·广西百色·高一统考期末）在中，P为AB上的一点，且，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（2021春·高一课时练习）如图，在△中，D，E为边的两个三等分点，，求． 题型四：三角形的心的向量表示 10．（2020春·河北衡水·高一校考阶段练习）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的 A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心 C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心 11．（2022春·湖南永州·高一永州市第四中学校考阶段练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足∈R.则P点的轨迹一定通过三角形ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 12．（2022·全国·高一专题练习）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则 （    ） A． B． C． D． 【双基达标】 1、 单选题 13．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（    ） A．B．C．D． 14．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 15．（2022·全国·高一假期作业）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）在中，设，，又，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2023·高一课时练习）计算：______． 18．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）若，则__． 19．（2022春·高一）化简： (1)(2)   【高分突破】 一、单选题 20．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 21．（2022春·河南驻马店·高一统考期末）平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 22．（2022春·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（    ） A． B． C． D． 23．（2022·全国·高一假期作业）已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 24．（2022春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若，则（    ） A． B． C． D． 25．（2022春·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 26．（2022春·广东广州·高一执信）庄严美丽的国旗和国徽上的五