数学探究：杨辉三角的性质与应用(数学阅读+精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）

数学探究：杨辉三角的性质与应用 (数学阅读+精讲） 目录 一、杨辉三角形相关知识阅读 二、重点题型分类研究 题型1: 二项展开式的系数问题 题型2：杨辉三角的有关问题 题型3：求二项展开式中的最大项问题 题型4：二项式定理的应用 三、高考（模拟）题体验 相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算． 杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶(约公元1050年)贾宪的《释锁算术》， 并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚． 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708 年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有： 贾宪　中国北宋　11世纪　《释锁算术》 杨辉　中国南宋1261　《详解九章算法》　记载之功 朱世杰　中国元代　1299　《四元玉鉴》　级数求和公式 阿尔·卡西　阿拉伯　1427　《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯　德国　1527 米歇尔．斯蒂费尔　德国　1544　《综合算术》　二项式展开式系数 薛贝尔　法国　1545 B·帕斯卡　法国　1654　《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古代数学史曾经 有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页. 数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质 杨辉三角(也称帕斯卡三角)相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1 开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．在欧洲，帕斯卡(1623—1662)在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三 角形．帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年． 就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性: 1．最外层的数字始终是1 2．第二层是自然数列 3．第三层是三角数列 什么是三角数列，看一下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形． 4．三角数列相邻数字相加可得方数数列 什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形． 5．每一层的数字之和是一个2倍增长的数列 6.斐波那契数列 如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列． 斐波那契数列是指从 0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和．这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数 0.618(或1.618，两数互为倒数)．斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见，在人类的艺术设计中也是应用非常广泛． 7．素数 素数是指只能被1和它本身整除的数字．然而在杨辉三角里，除了第二层自然数列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数． 8．可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构 9．如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案． 知识点一：二项式系数的性质 ①各二项式系数和： ； ②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 知识点二：杨辉三角至少具有以下性质： ①每一行都是对称的，且两端的数都是1 ②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和． ③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的． (4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大． 题型1：二项展开式的系数问题 典型例题 例题1．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做