6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质(精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1：求型的展开式 题型2：二项展开式的逆用 题型3：二项展开式中的特定项或特定系数问题 题型4：三项展开式中的特定项或特定系数问题 题型5：几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题 题型6：系数最大项问题 题型7：赋值法解决系数和问题 题型8：有关整除或求余问题 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：知识链接 （1） （2） 知识点2：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点3：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点4：二项式展开式中的最值问题 （1）二项式系数的性质 ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即． ③增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ④二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式． ⑤奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令， 则，从而得到：． ⑥最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大． （2）系数的最大项 求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． 知识点5：二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例： （1）设， 二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值． ①令，可得： ②令，可得：，即： （假设为偶数），再结合①可得： ． （2）若，则 ①常数项：令，得． ②各项系数和：令，得． ③奇数项的系数和与偶数项的系数和 （i）当为偶数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） （ii）当为奇数时，奇数项的系数和为； 偶数项的系数和为． （可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配） 若，同理可得． 注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 二、重点题型分类研究 题型1：求型的展开式 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022·高二课时练习）求的展开式． 例题3．（2022·高二课时练习）求的展开式． 同类题型演练 1．（2022·高二课时练习）求展开式的各项系数． 2．（2022·高二课时练习）求的展开式． 3．（2022·高二课时练习）求的展开式． 题型2：二项展开式的逆用 典型例题 例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A．31 B．32 C．15 D．16 例题2．（2022·全国·高三专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2022·全国·高三专题练习）__________. 同类题型演练 1．（2022·高二课时练习）已知，则可化简为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·高二课时练习）(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝ A．x5 B．x5－1 C．x5＋1 D．(x－1)5－1 3．（2022·高二课时练习）·2n＋·2n－1＋…＋·2n－k＋…＋＝________. 4．（2022·高二课时练习）计算：_____. 题型3：二项展开式中的特定项或特定系数问题 典型例题 例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中含的项的系数为（    ） A．30 B．-30 C．25 D．-25 例题2．（2023·北京·高三专题练习）二项式的展开式中常数项为（    ） A．80 B． C． D．40 例题3．（2022秋·湖北黄石·高二校考期中）已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D．3， 例题4．（2023·全国·高三专题练