第12讲 菱形的性质与判定-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第12讲 菱形的性质与判定 【学习目标】 1.理解菱形的相关概念，掌握菱形的性质（边、角、对角线）； 2.能运用菱形的性质解决相关的证明和计算问题； 3.理解并掌握菱形的判定定理，并能运用菱形的判定解决相关的证明和计算问题； 4.探究菱形面积的多种求法。 【基础知识】 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。 菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形： 1）边：①四条边都相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD 2）角：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 3）对角线：①对角线相互垂直；②对角线平分对角；③对角线相互平分， 即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD 4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 5）菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD， 菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等 2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA 3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分 4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分一组顶角 【考点剖析】 考点1：菱形的相关性质 例1．（2022春·云南·九年级统考期中）下列关于菱形的说法中正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．菱形的对角线相等且互相平分 D．对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据菱形的性质及判定，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误； B、C.菱形的对角线互相垂直且平分，故B正确，C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D错误．故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，解题的关键是熟记菱形的对角线垂直且互相平分，对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 变式1．（2022秋·河南南阳·八年级阶段练习）菱形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】由菱形的性质和矩形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、对边相等，是菱形和矩形都具有的性质，故选项A不符合题意； B、对角相等，是矩形和菱形都具有的性质，故选项B不符合题意； C、对角线互相平分，是矩形和菱形都具有的性质，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性质，故选项D符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质以及矩形的性质，正确区分矩形和菱形的性质是解题的关键． 考点2：利用菱形的性质求角度 例2．（2022·浙江仙居初三期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　） A．28° B．52° C．62° D．72° 【答案】C 【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数． 【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC， ∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO， 在△AMO和△CNO中，∵ ，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO， ∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°， ∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 变式2．（2022·江苏常州初三期末）如图，菱形的对角线相交于点，于点，连接，若，则的度数是( ) A．25° B．22.5° C．30° D．15° 【答案】B 【分析】求出∠HDO，再证明∠DHO=∠HDO即可解决问题； 【解析】∵，∴. ∵四边形是菱形，∴°， ∵，∴，∴. ∵，∴，∴.故选B. 【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．判断OH为直角三角形斜边上的中线． 考点3：利用菱形的性质求长度 例3．（2022·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为________． 【答案】12 【分析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△AC