第09讲 平行四边形的性质-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第09讲 平行四边形的性质 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理； 2．会应用平行四边形的性质定理解决相关的几何证明和计算问题。 【基础知识】 1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形 2）平行四边形的高：一条边上任取一点作另一边的垂线，该垂线的长度称作平行四边形在该边上的高。 3）平行四边形的性质：考虑边、角、对角线，有时还会涉及对称性。如下图，四边形ABCD是平行四边形： （1）性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC （2）性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC （3）性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD （4）性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形。 【考点剖析】 考点1：平行四边形的性质 例1．（2022·四川乐山·八年级期末）已知是平行四边形，以下说法不正确的是（ ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等，故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键． 变式1．（2021·四川宜宾·中考真题）下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误， B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误， C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误， D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 考点2：利用平行四边形的性质求角度 例2．（2022·浙江杭州市·八年级模拟）如图，点E是平行四边形的边上一点，连结，并延长与的延长线交于点F，若，，则______． 【答案】65 【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可． 【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，． ∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键． 变式2．（2022·常熟市八年级月考）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（　　） A．150° B．40° C．80° D．90° 【答案】C 【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数． 【详解】解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE， ∵AE∥CF，∴∠CFB＝∠AED，∴△BCF≌△DAE，∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB， ∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，∴∠BCF＝80°故选：C． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 考点3： 利用平行四边形的性质求长度 例3． （2022·陕西碑林·九年级期中）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先证明AE＝EC，再求解AD+DC＝8，再利用三角形的周长公式进行计算即可. 【详解】解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC， ∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8， ∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C． 【点睛】本题考查