第13讲 正方形的性质与判定-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第13讲 正方形的性质与判定 【学习目标】 1. 理解正方形的概念，掌握正方形的性质（边、角、对角线）； 2. 能运用正方形的性质解决相关的证明和计算问题； 3. 了解正方形与矩形、正方形、平行四边形之间的联系与区别； 4. 理解并掌握正方形的判定定理，并能运用正方形的判定解决相关的证明和计算问题。 【基础知识】 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形： 1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC 2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO 4）对称性：轴对称图形；中线对称图形 正方形是特殊的平行四边形、矩形、正方形，常见的判定思路为 ： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且相等， 2）判定方法2（从正方形出发）：正方形+1个90°角，或正方形+对角线相等， 3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直， 4）判定方法4（从四边形出发）：对角线垂直平分且相等， 【考点剖析】 考点1：正方形的相关性质 例1．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，正方形的性质即可求解． 【详解】解：矩形的性质，两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角；正方形的性质，四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角， ∴正方形的四条都相等，是矩形没有的，故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，掌握几何图形的性质是解题的关键． 变式1．（2022·山东临沂·模拟预测）正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分 【答案】B 【分析】根据正方形的性质以及矩形的性质即可得出结论． 【详解】解：A、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意； B、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，符合题意； C、对角线相等是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意； D、对角线相等且互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；故选：B． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，熟练掌握相关的图形性质定理是解本题的关键． 考点2：利用正方形的性质求角度 例2．（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°， ∵点O为MN的中点∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP， ∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°， ∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，，故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算． 变式2．（2022·福建·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方形的性质，则，由折叠的性质，得DE=DC，即可得到得角度． 【详解】解：四边形是正方形， 是正方形的对角线，， 折叠，，，，故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到． 考点3：利用正方形的性质求长度（面积） 例3．（2022·江苏仪征初三一模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______． 【答案】4+2 【分析】连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，证明△DCE≌△BCE和△BEF为等腰三角形，设AF=x，用x表示DE与EF，根据四边形ADEF的面积