2.2.3　二次函数y＝ax²＋c的图象与性质 同步培优与检测 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

2.2.3　二次函数y＝ax2＋c的图象与性质 同步培优与检测 一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分） 1. 函数y＝－x2＋1的图象大致为( ) 2. 二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是(　　) A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点(2，3) C．抛物线的对称轴是直线x＝1 D．抛物线与x轴有两个交点 3. 函数y＝－x2＋3与y＝－x2－2的图象的不同之处是(　　) A．对称轴 B．开口方向 　C．顶点 D．形状 4. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是(　　) A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3 C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2 5. 已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 6. 已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 7. 抛物线y＝x2－1的开口方向_________，有最________值，在对称轴的右侧y随x的增大而___________．  8．如图，抛物线y＝ax2＋1与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝4x2于点B，C，则线段BC的长为______． 9．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝___________，c＝___________． 10. 如图，抛物线y1的顶点在原点上，经过点A(－1，－1)，抛物线y2是y1向上平移而成的，则y2＝________． 11. 如图，两条抛物线y1＝－x2＋1，y2＝－x2－1与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为______． 三．解答题（共5小题， 45分） 12. (10分) 求符合下列条件的抛物线的函数表达式： (1)抛物线y＝ax2－1过点(1，2)； (2)抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1)． 13. (11分) 已知抛物线y＝ax2＋n(an＞0)与抛物线y＝－2x2的形状相同，且图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3. (1)求a，n的值； (2)在(1)的情况下，指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴和顶点坐标． 14. (12分) 如图，抛物线y＝ax2＋2与经过点A(4，0)，B(0，6)的直线在第一象限内相交于点P，且△AOP的面积为6. (1)求a的值； (2)若将该抛物线向下平移m个单位长度后所得的抛物线经过点A，求m的值． 15. (12分) 一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点． (1)求k，a，c的值； (2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数表达式，并求W的最小值． 参考答案 1-6BDAADC 7. 向上，小，增大 8. 1 9. 3，2 10. －x2＋2 11. 8 12．解：(1) 解：将点(1，2)的坐标代入y＝ax2－1，得2＝a－1，解得a＝3， ∴y＝3x2－1. (2) 解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝－1. 将点(0，1)的坐标代入y＝－x2＋c，得c＝1， ∴y＝－x2＋1. 13．(1)a＝2，n＝3或a＝－2，n＝－3　 (2)当a＝2，n＝3时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0，3)； 当a＝－2，n＝－3时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0，－3) 14．解：(1)∵点A(4，0)，点B(0，6)， ∴OA＝4，易得直线AB的表达式为y＝－x＋6， ∴S△AOP＝OA·yP＝·4yP＝6， ∴yP＝3，∴－xP＋6＝3，∴xP＝2， ∴点P(2，3).又∵点P(2，3)在抛物线y＝ax2＋2上， ∴3＝22a＋2，∴a＝ (2)由(1)可知平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋2－m，将点A(4，0)代入y＝x2＋2－m， 得0＝×42＋2－m，解得m＝6 15.解：(1)将点(1，2)的坐标代入y＝kx＋4，得k＋4＝2， 解得k＝－2. 由题意得二次函数y＝ax2＋c