5.4二项式定理 测试卷——2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

5.4二项式定理 测试卷 一、单选题 1．已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，的系数为（    ） A．6 B．12 C．24 D．36 3．已知二项式的展开式中的系数是10，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 4．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．24 C． D．48 5．的展开式的第3项是（    ） A． B． C． D． 6．若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．若展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．二项式的展开式中系数为有理数的项共有（    ） A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 二、多选题 9．关于的展开式，下列判断正确的是(    ) A．展开式共有8项 B．展开式的各二项式系数的和为128 C．展开式的第7项的二项式系数为49 D．展开式的各项系数的和为 10．二项式(2x－1)7的展开式的各项中，二项式系数最大的项是（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 11．已知，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 12．已知，下列结论正确的有（    ） A．各项二项式系数和为128 B．式子的值为2 C．式子的值为－1094 D．式子的值为1093 三、填空题 13．的展开式中常数项为_________. 14．若的二项展开式中系数最大的项为第7项，则______． 15．若的展开式中常数项为70，则______． 16．干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年，则年以后是__________年. 四、解答题 17．在二项式的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； 18．已知，该展开式二项式系数和为32. (1)求n的值； (2)求的值. 19．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于． (1)求的值； (2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值． 20．已知（为正整数）的二项展开式中. (1)若，求所有项的系数之和； (2)若，求展开式中的有理项的个数； (3)若，求系数最大的项. 21． (1)已知在的二项展开式中，只有第六项的二项式系数最大，求该二项展开式中不含x的项； (2)已知在的二项展开式中，只有第七项的系数最大，求n的值； (3)已知在的二项展开式中，第六项的系数最小，求n的值． 22．将的二项展开式中的二项式系数依次列为：. (1)依据二顶式定理，将展开，并求证：； (2)研究所列二项式系数的单调性，并求证：其最大值为. 参考答案 1．C 【分析】利用二项式定理求得的展开通项，从而利用与的系数相等得到关于的方程，进而求得的值，由此得解. 【详解】因为的展开通项为 又因为第项与第项的系数相等，所以， 由二项式系数的性质知，则，故， 所以的二项展开式中所有项的系数之和为. 故选：C. 2．C 【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可. 【详解】展开式的通项公式， 令，得， 所以在的展开式中，的系数为， 故选：C 3．B 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】二项式的展开式为， 令，解得， 所以. 故选：B 4．B 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项． 【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为 故选：B 5．B 【分析】根据二项式定理展开式求解即可. 【详解】由二项式定理展开式的通项公式得：. 故选：B 6．A 【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值. 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为 ，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大． 故选：A. 7．C 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数分别为，求出展开式含项的系数和含项的系数，列出方程求出． 【详解】解：展开式的通项为 令得 故含的系数为 令