6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 探究 已知 ，怎样用 与 的坐标表示 呢？ 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 向量模的坐标公式 两点间的距离公式 如果表示设向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 那么 向量数量积的相关公式： 向量数量积公式 向量的夹角公式 向量垂直的充要条件 例10 若点A(1,2), B(2,3), C(-2,5), 则△ABC是什么形状？证明你的猜想. x y O C A B 例11 设 求 及 的夹角的θ (精确到1°). 解决向量夹角问题的方法及注意事项 (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 例12 用向量方法证明两角差得余弦公式 证明：如图, 在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O, 以x轴的非负半轴为始边作角α, β, 它们的终边与单位圆O交点分别为A, B, 则 课堂练习 随堂检测 1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于 √ 解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3. 2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为 √ a·b＝3×5＋4×12＝63. 3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 A.1 B. C.2 D.4 √ 解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， 4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝ ，则b等于 A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3) √ 解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6). 5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于 √ 解析　由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2. 再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)， 6.(1)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上.若，则 答案： 解：以为坐标原点，为轴、为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，. 可设，因为，所以，. 所以. 6.(2)已知与同向，，. ①求的坐标；②若，求及. 解：①设，则有 ∴∴ ②∵ ∴ 7.(1)(2019全国卷)已知向量，则( ). A. B.2 C. D.50 答案：A. 解：∵ ∴ 7.(2)已知向量，向量则的最大值为__________. 答案：. 解：∵ ∴ 当且仅当时，取最大值. 8.设平面上向量()，. (1)求与的夹角； 解：由题意知， 则 ∵，∴. 又，∴，即两向量的夹角为. 8.设平面上向量()，. (2)求证：与垂直. 证明：∵ ∴. 设非零向量与的夹角为，则有: 坐标表示 数量积 模 或 两点间 距离公式 设则 垂直 夹角 课堂小结 THANKS “ ” (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. A.3 B.－3 C. D.－ 设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝. A. B. C. D. 解析　|a|＝＝5，|b|＝＝13. ∴n2＝3，∴|a|＝＝2. 则|b|＝＝|λ|＝3， 3 可得|a＋b|＝. A. B. C.2 D.10 $