专题1.10 二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题1.10 二次根式（全章复习与巩固）（知识讲解） 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【要点梳理】 要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 特别说明：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 特别说明：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 特别说明： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 特别说明： 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【典型例题】 类型一、二次根式➽➼概念➽➼有意义条件✭✭二次根式的性质 1．（2022春·四川乐山·九年级统考期中）已知实数、满足，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，从而得出的结果． 解：由题意可知， 解得：， 则， ∴ 【点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件及负整数指数幂的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键． 举一反三： 【变式1】（2022秋·上海·七年级校考期中）化简：． 【答案】 【分析】首先根据题意，由二次根式存在性可得，，化简得，再由a的取值范围，求得，化简及，最后进行整式运算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， 原式= = = 【点拨】本题考查了二次根式的存在性，绝对值的化简，根式的化简，掌握二次根式的存在性及正确化简是解题的关键． 【变式2】（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知，且x为偶数，求的值． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解不等式组，可求得x的范围，然后根据x是偶数即可确定x的值，然后对所求的式子进行化简，然后代入求解即可． 解：由题意得， 解得：6＜x≤9， ∵x为偶数， ∴x＝8． ∵原式＝（1+x） ＝（x+1） =． ∴当x＝8时，原式=． 【点拨】本题主要考查了二次根式，分式，不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解不等式组，二次根式的化简求值，是解决问题的关键． 2．（2022·全国·八年级专题练习）已知a、b、c是三角形的三边，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定出每个括号内的正负，然后根据二次根式的性质去根号即可． 解：∵a，b，c为三角形三边， ∴，，，， ∴ ． 【点拨】本题主要考查二次根式的化简，整式加减运算，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系，是解题的关键． 举一反三： 【变式1】（2022·全国·八年级专题练习）比较和的大小（平方法） 【答案】 【分析】利用平方法，即可比较出大小． 解：，， ， ， 又，， ． 【点拨】本题考查了无理数大小的比较方法，积的乘方运算，利用二次根式的性质化简，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键． 【变式2】（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）一天老师在黑板上出示：求代数式的值，其中．如图是小明和小芳的解答过程： (1) 的解法是错误的； (2) 求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2)202