专题08 反比例函数（6大考点）-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

第三部分 函数 专题08 反比例函数（6大考点） 核心考点 核心考点一 反比例函数的定义 核心考点二 反比例函数的图象与性质 核心考点三 反比例函数的解析式 核心考点四 反比例函数的实际应用 核心考点五 反比例函数与几何图形综合 核心考点六 反比例函数与一次函数综合 新题速递 核心考点一 反比例函数的定义 例1 （2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣ ，下列说法错误的是（　　） A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数y＝﹣ ， A、当x＝1时，y＝﹣ ＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意； B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意； D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 例2 （2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）已知反比例函数 的图象经过点 ，则a的值为___________． 【答案】 【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可． 【详解】解：把点 代入 得： ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键． 例3 （2021·浙江金华·统考中考真题）背景：点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B， 轴于点C，分别在射线 上取点 ，使得四边形 为正方形．如图1，点A在第一象限内，当 时，小李测得 ． 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题． （1）求k的值． （2）设点 的横坐标分别为 ，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了 时“Z函数”的图象． ①求这个“Z函数”的表达式． ②补画 时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）． ③过点 作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标． 【答案】（1）4；（2）① ；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当 时，函数值z随自变量x的增大而增大，当 时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6． 【分析】（1）利用待定系数法解题； （2）①设点A坐标为 ，继而解得点D的横坐标为 ，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点 的直线与x轴垂直时，或当过点 的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可． 【详解】解：（1）由题意得， ， 点A的坐标是 ，所以 ； （2）①设点A坐标为 ，所以点D的横坐标为 ， 所以这个“Z函数”表达式为 ； ②画出的图象如图： 性质如下（答案不唯一）； （a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线 （b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称． （c）当 时，函数值z随自变量x的增大而增大，当 时，函数值z随自变量x的增大面增大． ③第一种情况，当过点 的直线与x轴垂直时， ； 第二种情况，当过点 的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为 ， ，即 ， ， 由题意得， ， （a）当 时， ，解得 ； （b）当 时， ， 解得 ， 当 时， ．解得 ； 当 时， ，解 所以x的值为 ． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 知识点：反比例函数的概念 定义：一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成 或 的形式．自变量x的取值范围是 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 【变式1】（2022·浙江温州·统考二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强 与气体的体积 的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积 需满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可求出压强 与气体的体积 的关系式为 ，为了不让气球爆炸，则需要 ，结合图象可知：若 ，则 ． 【详解】解：由图可知函数为反比例函数，且过 ， 设气球内气体的压强 与气体的体积 的关系为 ， 则 ，