6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法和向量在物理中的应用举例（分层练习）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.4.1-6.4.2平面几何中的向量方法和向量在物理中的应用举例 精选练习 基础篇 1．四边形中，，，则这个四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】由可得，且，即四边形为平行四边形，又，即四边形为菱形，即得解 【详解】由题意，，即，且，故四边形为平行四边形 又，故， 即四边形为菱形，故选：A 2． 如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若， 则_________. 【答案】14 【分析】建立平面直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求出结果. 【详解】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系 则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4）， ∵点E为BC的中点，且， ∴E（3，2），F（2，4）， 故，，∴， 故答案为：. 3．已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则， 即长度为，故选：D 4．已知，且的夹角为钝角，则实数的范围_______ 【答案】 【分析】由题意得出且与不共线，利用向量的坐标运算可求出实数的取值范围. 【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是且， 故答案为：且. 【方法点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向量与的夹角为，为锐角，为钝角. 5．已知正方形ABCD中，E是CD的中点，则向量与的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【分析】向量坐标化，以A为原点，分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算处理. 【详解】如图示，以A为原点，分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系. 不妨设正方形ABCD的边长为2，则，，，，. 则∴向量与的夹角的余弦值为： . 故答案为： 6．在直角坐标平面内，已知向量，，，为满足条件（）的动点．当取得最小值时，求： (1)向量的坐标； (2)的值； (3)求点A到直线的距离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）先表示出，再表示出，利用二次函数研究最值；（2）直接利用向量的夹角公式求解；（3）直接利用公式求出点A到直线PB的距离. 【详解】（1），，， ∴ 当取得最小值时，t＝2．∴（2，4）． （2），，，， ∴． （3）设点A到直线PB的距离为h，则h＝． 7．在水流速度为的河中，要使船以的速度与河岸成直角横渡，则船行驶速度的大小为______，与水流方向所成的角为______． 【答案】20     【分析】表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则，由可得答案. 【详解】如图，表示水流方向，表示垂直于对岸横渡的方向，表示船实际航行的方向，则， 由题意知，， ∴，且．∴船行驶速度的大小为，与水流方向所成的角为． 8．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（参考数据：取重力加速度大小为）（    ） A． B．61 C．75 D．60 【答案】D 【分析】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等， 求出，再化为千克即可得． 【详解】如图，，， 作平行四边形，则是菱形，， ，∴， 因此该学生体重为（kg）.故选：D． 9． 如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小 为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（    ） A．1000J B． C．2000J D．500J 【答案】A 【分析】利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可． 【详解】解：∵且与小车的位移方向的夹角为， 又力作用于小车，使小车发生了40米的位移， 则力做的功为．故选：A． 提升篇 1．在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】B 【分析】延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论. 【详解】解：延长AC，使得AC=CD，则， ∵，∴， ∵，∴，∴是等腰三角形， ∴点M在BD的中垂线上，∴AM平分，直线AM一定经过的内心. 故选：B. 2．如图，在等腰梯形中，，则（    ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】以的中点O为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得结果. 【详解】以的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 依题意可得， ∴， 故. 故选：B 3．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已