第三章函数的概念与性质——2023年寒假高一复习学案

04 函数的概念与性质 函数 【知识回归】 一、函数的概念及其表示 1.函数的概念 Ⅰ.① ， 是两个非空的实数集。 ②对于 中任意一个数 ， 中都有唯一确定的数 与之对应。 Ⅱ.（映射定义）设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 【例1】设集合，，那么四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( ) A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 【例2】下列对应是从A到B的函数的是_______. (1)，对应法则.(2). (3)，对应法则如图所示. 2.函数的相关概念 （1）函数的定义域、值域 在函数 , 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。显然，值域是集合 的子集。 （2）函数的表示方法：解析法、图象法和列表法。 （3）相等函数 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。 【例3】已知函数的定义域是，则的定义域是( ) A. B. C. D. 【例4】已知的定义域为，则的定义域为( ) A. B. C. D. 【例5】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为( ) A. B. C. D. 【例6】已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例7】下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A.与 B.与 C.与 D.，与， 【例8】下列各组函数表示相同函数的是( ) A.和 B.和 C.和 D.和 3、函数解析式的求法 （1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法。 （2）换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。 （3）配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，可得 的解析式。 （4）消元法：已知 与 或 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 。 【例9】若函数满足,则的解析式为( ) A. B. C. D. 【例10】已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4、求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]， 则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]， 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 二、函数的单调性与最值 1.函数的单调性 （1）增函数、减函数 增函数：当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 减函数：当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 （2）单调区间的定义 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间1。 2.函数的最值 前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足 条件 ，都有 ； ，使得 ，都有 ； ，使得 结论 为最大值 为最小值 3．单调性的判断 (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关． 【例11】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A. B. C. D. 【例12】下列函数中，在上单调递增，且值域为的是( ) A. B. C. D. 三、函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性 条件 图象特点 偶函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ，都有 ,且 关于 轴对称 奇函数 对于函数 的定义域 内任意一个 ,都有 ,且 关于原点对称 2.周期性 （1）周期函数：对于函数 ,如果