拓展一：数列递推与通项公式归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

拓展一：数列递推与通项公式归类 1.观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2.等差等比定义求通项 等差数列判定： ①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值； ②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 等比数列的判定方法： (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 3.利用与的关系 依据求出. 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写 注：an与Sn关系的应用策略 (1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”． (2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”． (3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！ 4.累加法与累乘法 （1）累加法：形如的解析式 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 注：累加法求通项公式的4步骤 （2） 累乘法：形如的解析式 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 注：累乘法求通项公式的4步骤 5.构造法 (1)形如型的递推式： ①待定系数法：（其中均为常数，） 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解. ②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解. ③待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列. ④待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列. (2)形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 6.分式型 取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 7.不动点法求通项 （1）定义：方程的根称为函数的不动点． 利用函数的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种求数列通项的方法称为不动点法． （2）在数列中，已知，且时，（是常数）， ①当时，数列为等差数列； ②当时，数列为常数数列； ③当时，数列为等比数列； ④当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，这时数列的通项公式为：； （3）形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) （4）设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， ①若,则有 （其中） ②若,则有 （其中） （5）设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 8.对数变换法 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 考点一 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项