专题14 复数的四则运算及三角形式-2023年高一数学寒假自我学习课精讲精练（人教A版2019）

专题14 复数的四则运算及三角形式 【夯实双基】 一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： ； 2、复数的加法运算律： 交换律：z1+z2=z2+z1 结合律：：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3） 二、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 【概念辨析】 （1）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) （2）复数与复数相加（或相减）后的结果只能是实数.( ) （3）若，，且，则.( ) （4）.( ) （5）若（为虚数单位），则.( ) （6）复数0的辐角为0.( ) （7）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.( ) （8）复数的辐角主值为.( ) 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）正确；（5）错误；（6）正确；（7）错误；（8）错误 【典例精讲】 考点1 复数的四则运算 题型一 复数的加减运算 例1．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则__________． 【答案】 【分析】首先表示出，，再根据复数代数形式的加法运算求出，从而求出其模. 【详解】解：依题意可得，，所以，， 所以， 所以. 故答案为： （2）．（2023·高一课时练习）若，则实数______，______． 【答案】          【分析】利用复数的四则运算法则与复数相等的性质即可得解. 【详解】因为， 所以， 则，解得， 所以. 故答案为：；. 练习1 ______． 【答案】 【分析】利用复数减法的运算法则即可得解. 【详解】.故答案为： （2）（2022秋·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）若复数和复数满足，则_____． 【答案】 【分析】设，根据复数的运算即可求解. 【详解】设， 且， 则， 又，所以， 也即，则， 因为， 所以 故答案为：. 题型二 复数的乘法与乘方运算 例2 计算：______． 【答案】 【分析】利用虚数单位的性质即可得解. 【详解】因为， 所以，，，， 又， 所以是以为周期，且每个周期内的和为， 又，所以. 故答案为：. （2）复数与（a，b，c，）的积是纯虚数，则（    ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】C 【分析】先利用复数乘法化简，再利用纯虚数定义即可得到选项. 【详解】 又复数与（a，b，c，）的积是纯虚数， 则， 故选：C 练习2．（2023春·湖北十堰·高三统考阶段练习）已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的代数乘法运算求解即可. 【详解】解：因为复数，, 所以， 故选：A （2）．（广东省清远市2023届高三上学期期末数学试题）复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 题型三 复数的除法运算 例3．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知a，，若与互为共轭复数，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由与互为共轭复数，求出a,b的值，可解出. 【详解】与互为共轭复数，∴，则有. 故选：D （2）．（2022春·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的定义可得出合适的选项. 【详解】因为，因此，复数的虚部为. 故选：B. 练习3．（北京市房山区2023届高三上学期诊断性评价数学试题）若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据给的等式求出用表示，然后运用复数的除法运算解决. 【详解】，所以复数在复平面上的点为，所以点在第一象限 故选：A （2）（2022春·河南许昌·高三校考阶段练习）已知复数z满足，则下列说法中正确的是（    ） A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限 C．复数z的共轭复数为 D． 【答案】AD 【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， ， 有，故A正确； 复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误； 复数的共轭复数为，故C错误； 因为，故D正确， 故选:AD. 题型四 复数方程的根 例4．（2022秋·上海普陀·高一校考期末）已知是方程的一个根，则实数的值为______. 【答案】5 【分析】将方程的根代入