1.2 等边三角形-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

1.2 等边三角形 知识点一 等边三角形的定义 等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形：三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。 知识点二 等边三角形的性质 ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于； ②等边三角形三边都相等； ③还满足等腰三角形的所有性质。 知识点三 等边三角形的判定 ①三个角都相等的三角形是等边三角形； ②三边都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是的等腰三角形是等边三角形； ④等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 题型一 等边三角形的性质（角度问题） 【例题1】如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，求∠ACE的度数． 解题技巧提炼 掌握等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°； ②等边三角形三边都相等； ③还满足等腰三角形的所有性质。 【变式1-1】如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°． 【变式1-2】如图所示，△ABD和△AEC都是等边三角形，连接BE和CD，BE和CD相交于点O．（1）猜想线段DC与BE的数量关系，并说明理由；（2）求∠BOC的度数． 【变式1-3】如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CEBC．点D是边AC的中点，连接ED并延长交AB于F． （1）求∠EFB的度数； （2）求证：DE＝2DF． 【变式1-4】如图，已知∠AOB＝120°，△COD是等边三角形（三条边都相等，三个角都等于60°的三角形），OM平分∠BOC． （1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOM＝　 　； （2）如图2，当∠AOC＝100°时，∠DOM＝　 　； （3）如图3，当∠AOC＝α（0°＜α＜180°）时，求∠DOM的度数，请借助图3填空． 解：因为∠AOC＝α，∠AOB＝120°， 所以∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣120°， 因为OM平分∠BOC， 所以∠MOC＝　　∠BOC＝　 　（用α表示）， 因为△COD为等边三角形， 所以∠DOC＝60°， 所以∠DOM＝∠MOC+∠DOC＝　 　（用α表示）． （4）由（1）（2）（3）问可知，当∠AOC＝β（0°＜β＜180°）时，直接写出∠DOM的度数．（用β来表示，无需说明理由） 【变式1-5】如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）探究的度数；（3）探究EF、DF、CF之间的关系． 题型二 等边三角形的性质（规律问题） 【例题2】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 解题技巧提炼 根据题中已知总结规律，根据规律解决问题。 【变式2-1】如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为，第2个等边三角形的边长记为，以此类推．若，则__________． 【变式2-2】如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　 　． 【变式2-3】如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，则△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An∁nCn+1的周长和为　　．（n≥2，且n为整数） 【变式2-4】如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为（1，0）和C（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点（2020，1）的是点　 　． 题型三 等边三角形的性质（动点问题） 【例题3】如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时