《第十六章 二次根式》知识串讲+热考题型-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(人教版)

八年级下册数学《第十六章 二次根式》 本章知识综合运用 二次根式有关概念 ●●1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数. ●●2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式. ●●3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ●●4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式． 二次根式的有关性质 ●●1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）． ●●2、（）2（a≥0） 的性质： （）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ●●3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）． 二次根式的相关运算 ●●1、二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 用字母表示为： （1）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0） （2）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0） （3）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0） （4）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） ●●2、二次根式的加减法 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变． ●●3、二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算． （2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． 题型一 根据二次根式是整数求字母的取值 【例题1】（2021春•德宏州期末）已知是整数，则自然数n所有可能的值有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解题技巧提炼 先通过二次根式的定义求出自然数n的范围，再由二次根式的性质确定20﹣n是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数的所有可能取的值. 【变式1-1】（2022春•温州期中）若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 　 　（写出一个即可）． 【变式1-2】已知是整数，求正整数n的最小值． 【变式1-3】已知是整数，求自然数n所有可能的值； 题型二 二次根式与绝对值的综合运用 【例题2】已知实数x满足|2017﹣x|x，求x﹣20172的值． 解题技巧提炼 灵活利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简计算是解题的关键. 1、的性质：具有双重非负性，即，即一个非负数的算术平方根是非负数； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值. 【变式2-1】（2022春•灌云县期末）|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题： （1）化简：　 　， 　； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|． 【变式2-2】已知10，化简2|x﹣6| 【变式2-3】（2022秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|． 【变式2-4】（2021春•姜堰区期末）小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题： （1）当3≤m≤5时，化简：　 　； （2）若代数式的值是4，求m的取值范围． 题型三 二次根式与三角形的综合运用 【例题3】设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：|a﹣b﹣c|． 解题技巧提炼 运用|a|进行化简时，一定要结合具体问题，本题结合相关的几何图形的特征，三角形的两边之和大于第三边确定被开方数底数的符号，然后进行化简. 【变式3-1】已知a、b、c是△ABC的三边，化简：． 【变式3-2】已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简（）2． 题型四 二次根式乘除法法则成立的条件 【例题4】等式•成立的条件是　 　． 解题技巧提炼 式子•成立的条件是a≥0且b≥0； 式子成立的条件是a≥0且b>0. 【变式4-1】（2022秋•闵行区校级期中）如